– Это и есть новая математика: величи́ны dS и dt называются дифференциалами от пути и времени, отношение dS/dt – производной от пути по времени, а сам процесс взятия производной – дифференцированием.

– И такие простые вещи называются сверхважным открытием? – удивилась Галатея.

– Конечно! Потому что мы научились работать не с числами, а с их изменениями. Дифференциальное исчисление названо по латинскому слову {differentia} – разность, различие. Мы ввели математические операции, которые описывают рост или уменьшение физических величин в реальном мире: берём производную по времени от пути кареты и получаем её скорость. Можем ещё раз взять производную по времени от скорости кареты и получить её ускорение.

– Значит, мы можем описать, с каким ускорением мчатся автогонщики на своих болидах? – с энтузиазмом спросил Андрей.

– Да. Более того, если мы знаем, как меняется ускорение гоночной машины, легко найдём её скорость, записав и решив так называемое дифференциальное уравнение: первая производная по времени от скорости равна ускорению машины.

– А ведь скорость – это тоже производная от пути… – напомнил Андрей.

– Верно! И мы можем написать уравнение, которое описывает движение гоночной машины: вторая производная по времени от пути равна ускорению. Учёные нашли разные способы решения многих дифференциальных уравнений. С их помощью можно вычислить изменения интересующих нас величин: скорость и путь гоночного болида по его ускорению; прирост населения мира по рождаемости или траекторию спутника, двигающегося при ускорении в поле гравитации Земли. Дифференциальные уравнения правят миром, только их нужно правильно составлять и решать. К сожалению, далеко не все уравнения поддаются решению.

Андрей спросил:

– Постой, мама, ты говоришь, что учёные до сих пор не могут решить какие-то дифференциальные уравнения?

– Конечно! – удивилась Дзинтара. – Уравнения небесной механики Ньютона и гидродинамики Навье – Стокса, электродинамики Максвелла и гравитации Эйнштейна настолько сложны, что математики и физики смогли решить системы этих дифференциальных уравнений только в самых простых случаях.

– Ах, вот как… – Глаза Галатеи загорелись. Она уже мысленно помогала бедным учёным, которые никак не могут справиться с такими интересными уравнениями.

Тем временем мама продолжала:

– Огромное количество дифференциальных уравнений вообще не имеет аналитического решения, которое можно записать в виде комбинации математических функций вроде синуса или экспоненты. Сейчас к решению дифференциальных уравнений привлекают мощные компьютеры, которые позволяют получать численные решения – не в виде аналитических функций, а в виде таблиц чисел. Однако и электронные машины пасуют перед самыми непростыми дифференциальными уравнениями.

Дзинтара тоже увлеклась и стала размахивать руками:

– Но главная проблема заключается не в том, что дифференциальные уравнения сложно решить. В конце концов прогресс в создании компьютеров позволяет нам находить решения всё более трудных уравнений. Главная проблема, которая стоит сегодня перед учёными, особенно перед биологами и социологами, – трудность открытия дифференциальных уравнений, описывающих изменения в человеческом организме и обществе.

– А такие уравнения существуют? – осторожно поинтересовался Андрей.

– Ха! – торжествующе сказала Дзинтара. – Какие умные вопросы задают сегодня мои дети! Организм и общество двигаются вперед благодаря множеству самых разных процессов, каждый из которых может быть описан математическим уравнением. Учёные полагают, что и человеческий организм, и общество в целом можно описать системой уравнений, но она должна быть очень сложной. Ещё никто даже не приблизился к открытию этой системы уравнений. Когда дифференциальные уравнения для человека и общества будут составлены, то биологи подарят людям здоровье и бессмертие, а социологи смогут заглянуть в будущее общества и предотвратить многие несчастья.

Дзинтара остановилась и посмотрела на детей. Глаза Галатеи и Андрея горели, спать они явно не собирались.

«Кажется, дифференциальные уравнения плохо подходят для усыпления детей…» – озабоченно подумала она.

Примечания для любопытных

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) – великий немецкий учёный, внесший свой вклад в развитие многих наук. Основатель и первый президент Берлинской академии наук. Создатель новых областей математики: дифференциального и интегрального исчисления.

Исаак Ньютон (1642–1727) – великий английский учёный. На механике Ньютона основана вся современная физика и небесная динамика. Создатель дифференциального и интегрального исчисления.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее производную от функции и связывающее эту производную с другими величинами: с самой функцией, числовыми параметрами и т. д.

Уравнения Навье – Стокса – система дифференциальных уравнений, описывающая движение вязкой жидкости. Записана французским механиком Анри Навье (1785–1836) в 1822 году и английским учёным Джорджем Стоксом (1819–1903) в 1845 году.

Уравнения Максвелла – система дифференциальных уравнений, описывающая электромагнитные процессы. Получена шотландцем Джеймсом Максвеллом (1831–1879) в 1862 году.

Уравнения Эйнштейна – система уравнений, описывающая гравитационное поле как искривленное пространство вокруг массивных тел. Открыта Альбертом Эйнштейном (1879–1955) в 1915 году.

Синус – аналитическая тригонометрическая функция sin({x}), возникшая при описании геометрии треугольника. Часто является решением дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы, например движение маятника.

Экспонента – аналитическая функция ехр({х}). Часто является решением дифференциальных уравнений, описывающих растущие или затухающие процессы.

Сказка о философе Ламетри и людях-машинах

Возле французского берега, обращенного к вечно враждебной Англии, есть Сен-Мало – город на острове, неприступный и живописный. Одно время он даже был вольным городом: не Франция и не Англия, а Сен-Мало.

При отливе вокруг острова-города выступали песчаные отмели, усеянные вкусными устрицами, а прилив приносил корабли, до отказа гружённые заморскими диковинами.

Сен-Мало столетиями был базой моряков и пиратов. Честно признаемся – различить их в Средние века было непросто. В Сен-Мало родился и жил Жак Картье – первооткрыватель Канады и знаменитый капер (так вежливо называли пиратов). С него началась история французских земель в Новом Свете, именно он придумал название «Канада».

Дух морской вольницы, царившей в Сен-Мало, способствовал тому, что здесь появился первый атеист Европы, открыто признавшийся в своём неверии в бога, – Жюльен Офре де ла Метри, или Ламетри. Он родился в семье богатого торговца тканями, рос живым и смышлёным ребёнком, получил прекрасное образование. Но сначала его отправили учиться богословию…

– Почему именно богословию? – спросил Андрей Дзинтару, рассказывающую очередную историю.

Дзинтара ответила:

– В то время церковь была крупнейшей корпорацией мира с огромным количеством рабочих мест. Но мальчик Жюльен был слишком живым для изучения мёртвых истин. В 16 лет Ламетри полностью потерял интерес к религии и отправился изучать медицину в Париж. После окончания колледжа, получив степень доктора медицины, он, понимая, что французская медицина отстаёт от медицины других стран, отправился на два года в Голландию учиться у знаменитого врача Бургаве.

– А почему он решил, что французские медики