Эта сеть находится прямо в центре сопряжения, откуда возможно дальнейшее расползание заразы вширь.

Термин «фазовый переход» часто применяется в термодинамике, когда речь идет о качественных изменениях вещества{60}. Например, когда вода превращается в лед или в пар, то можно сказать, что она претерпевает фазовый переход.

Сети тоже претерпевают фазовые переходы — например, скопление изолированных узлов и малых компонент превращаются в сеть с гигантской компонентой, заключающей в себе значительное количество узлов, а затем в такую сеть, где все узлы способны связаться друг с другом через пути, пронизывающие всю сеть. Увеличение числа звеньев в сети можно уподобить повышению температуры, за которым следует превращение льда в воду, а воды в пар.

Самое примечательное в фазовых переходах — их резкость. Чуть ниже порога замерзания — вы еще стоите на льду, а если потеплеет всего на градус, вы уже провалитесь в воду. Точно так же и совсем, казалось бы, ничтожные изменения в частоте звеньев внутри сетей приводят к значительным изменениям в компонентном устройстве. Это проиллюстрировано на рисунке 3.2. Как только мы переходим от сети, внутри которой на каждого человека в среднем приходится по 0,5 друга (как показано в секции [a]), к сети, где на одного человека приходится уже по 1,5 друга (как показано в секции [b]), происходит фазовый переход от разобщенной сети к такой, в которой большинство людей связаны друг с другом. Небольшие дальнейшие увеличения частоты (в секциях [c] и [d]) превращают сеть в «линейно связанную», или, для краткости, просто «связанную»: в ней каждый человек может связаться с любым из остальных по линиям, пронизывающим всю сеть (секция [c] показывает нечто очень близкое к этому — лишь два узла не соединены с остальными).

(a) Сеть со средней степенью 0,5

(b) Сеть со средней степенью 1,5

(c) Сеть со средней степенью 2,5

(d) Сеть со средней степенью 5

Рис. 3.2. Сравнение сетей с меняющимися средними степенями. Когда на один узел приходится менее одного звена, как показано в секции (а), сеть получается фрагментированной. Как только появляется в среднем более одного звена на узел, как в секции (b), образуется слитная гигантская компонента — значительного размера группа узлов, какая видна внизу секции (b), где все они могут сообщаться друг с другом по путям, проходящим по сети. Небольшое дополнительное увеличение количества связей, приходящихся на один узел, приводит к тому, что гигантская компонента вбирает в себя почти все имеющиеся узлы, как это показано в секции (c), и в конце концов сеть становится линейно связанной, то есть между каждыми двумя узлами обязательно проходит линия связи, как показано в секции (d).

Фазовые переходы в сетях имеют огромную важность для борьбы с болезнями. Критическое число, связанное с конкретной болезнью и сетью, по которой она может распространяться, известно как «основной показатель воспроизводства» данной болезни. Это число показывает, сколько людей недавно заразил типичный зараженный человек. Если основной показатель воспроизводства болезни превышает единицу, болезнь распространяется дальше, а если он ниже единицы, болезнь затухает.

Превышающий единицу порог, выше которого происходит распространение болезни, соответствует фазовому переходу, при котором в сетях появляется гигантская компонента, какая показана на рисунке 3.2. За этим стоит простая, но жизненно важная идея: если зараженный человек передает болезнь более чем одному человеку, зараза продолжает шагать дальше, с каждым новым заражением охватывая все больше людей, и таким образом воспроизводит себя до бесконечности. А ниже этого уровня процесс затухает. Если говорить о сети, то если у каждого человека имеется больше одного друга, тогда компонента стремится расти вширь, чтобы превратиться в гигантскую компоненту, тогда как если в среднем у человека насчитывается менее одного друга, сеть представляет собой скопление малых разобщенных компонент и изолированных узлов. Аналогия с воспроизводством населения ясна: если в обществе рождается больше одного ребенка на одного взрослого (и этот ребенок выживает, чтобы со временем тоже произвести потомство), тогда население будет расти; если же на одного взрослого приходится меньше одного ребенка, значит, население идет на убыль.

Легко найти примеры того, как виды вымирали или почти вымирали оттого, что основной показатель их воспроизводства — количество выживших потомков на одну взрослую особь — опускался ниже единицы, особенно там, где этот показатель воспроизводства зависел от внешних обстоятельств. Считается, что в XVIII веке популяция американского бизона насчитывала более пятидесяти миллионов особей, а к концу XIX века их осталось не больше пятисот. Показатель их воспроизводства резко упал после Гражданской войны в США, когда по новым железнодорожным путям к стадам начало подбираться все больше охотников и перевозка шкур сделалась намного легче. Кроме того, появились более совершенные ружья, позволявшие охотникам убивать животных на большем расстоянии, не распугивая все стадо. Например, «Биг Фифти» («большой полтинник» — винтовка 50-го калибра) оружейной фирмы Sharps Rifle успешно била на четверть мили (больше четырехсот метров). Индейцы равнин прозвали ее ружьем, которое «стреляет сегодня, а убивает завтра»{61}. Из-за возросшего количества охотников — а все они, вооружившись новейшими винтовками, убивали все больше бизонов и все быстрее увозили их шкуры — животные стали погибать значительно быстрее, чем успевали воспроизводиться. Показатель воспроизводства бизонов резко упал, и всего за несколько десятилетий имевшаяся ранее популяция оказалась истреблена почти начисто.