хорды к дуге и к противолежащему углу в центре окружности. Это соотношение похоже на функцию синуса, которую вы, вероятно, помните со школы, но, конечно, у Птолемея не было под рукой карманного калькулятора: свои табличные данные он выводил, опираясь на геометрические принципы, изложенные в трудах Евклида[327].

Птолемеева таблица хорд – самая ранняя из известных нам тригонометрических таблиц. Этот невероятно полезный инструмент выдает значения длин хорд на промежутке от ½ до 180° с шагом в полградуса. Птолемей постоянно ссылался на эту таблицу в тексте «Альмагеста». Используя ряд хитрых приемов, с ее помощью он мог ответить почти на любой вопрос математической астрономии: например, вычислить продолжительность самого длинного дня в какой-нибудь экзотической стране, где и не мечтал побывать, – и это только для начала. Обращаться к функциям синуса, косинуса и тангенса, которыми мы пользуемся сегодня, не было необходимости (хотя квадрат теней на обратной стороне астролябии представляет собой удобную таблицу тангенсов).

Рис. 5.3. Одна из первых хорд, вычисленных Птолемеем. Дуга – часть окружности с радиусом 60. Хорда – пунктирная линия, соединяющая два конца дуги. Ее длина приведена в стандартной шестидесятеричной записи, которую мы вместе с Джоном Вествиком изучали в главе 2. Целая часть отделяется точкой с запятой, а последующие – просто запятой. (Так как эта дуга противолежит углу в 36°, ее длина составляет одну десятую длины всей окружности, или 12π = 37;41,57°.)

Идеи Птолемея подхватили и существенно развили геометры Индии и исламского мира. Английские астрономы в век Джона Вествика еще только знакомились с их достижениями. Начиная свою научную карьеру, Ричард Уоллингфордский написал трактат из четырех частей, посвященный тригонометрии, в котором суммировал все, что читал о хордах, синусах и прочих функциях. Позже, незадолго до того, как его доконала проказа, Ричард переписал этот трактат, включив в него труды Джабира ибн Афлаха, мусульманина, жившего в XII веке в Севилье[328]. Но обычно, решая стоявшие перед ним астрономические задачи, Ричард обходился не столь современными идеями Птолемея.

Самой полезной из них была удивительно функциональная теорема из двух частей, которую обычно приписывают Менелаю Александрийскому, жившему за 100 лет до Птолемея. Ее называют теоремой Менелая, но сформулировал ее, скорее всего, не он. Теорема позволяла математикам вычислять длину дуг, пересекающихся на кривой поверхности сферы. Птолемей, похоже, пользовался ранней версией теоремы, поскольку, излагая ее, он не упоминал Менелая, хотя повсюду в «Альмагесте» воздает тому должное за педантичные наблюдения Луны и звезд на широте Рима. Но кто бы ни был автором теоремы – чего мы, скорее всего, никогда не узнаем наверняка, – без нее не мог обойтись ни один астроном, желавший предсказывать и измерять движение светил[329].

Птолемей сперва доказал теорему Менелая, а затем применил ее для измерений в простейшем случае вращения небесной сферы – на экваторе Земли. На этой уникальной широте Северный небесный полюс располагается на горизонте, а все звезды встают вертикально (см. рис. 1.3). Именно благодаря тому что звезды здесь восходят под прямым углом к горизонту, расстояние, измеряемое по небесному экватору, называется прямым восхождением. На этой единственной широте, где небесный экватор пересекает горизонт под прямым углом, несложно определить, какая часть экватора взойдет за то же время, что и определенная часть эклиптики. Чтобы узнать, когда поднимется та или иная звезда, или вычислить точную длину светового дня, нам потребуются только два числа. Первое – расстояние между экватором и точкой эклиптики, которая восходит в нужный нам момент. Оно называется склонением. Склонение Солнца меняется от сезона к сезону, когда оно, двигаясь по эклиптике, пересекает экватор. Второе – это угол между экватором и эклиптикой – наклонение.

Птолемей освещает эти вопросы в первой книге «Альмагеста». Там он приводит таблицу склонений и объясняет, как измерить наклонение эклиптики к экватору с помощью двух крупных инструментов. Во второй книге он делает следующий шаг. В очередной раз применив теорему Менелая, он показывает, как перейти от времени восхождения знаков зодиака на широте экватора – это прямое восхождение – ко времени восхода в любой точке мира. В этом случае знаки зодиака встают из-за горизонта не под прямым углом, и такое восхождение называется уже не прямым, а наклонным (рис. 5.4)[330]. Здесь нужны дополнительные вычисления, учитывающие этот наклон относительно горизонта на разных широтах.

Рис. 5.4 Общая теория восхождений на сфере. Небесный экватор и эклиптика пересекаются в точке Е (равноденствие), а угол между ними – это наклонение (ε). Оно равно 23½°. Наклонение эклиптики одинаково в любой точке мира, но угол между горизонтом и небесным экватором меняется по мере продвижения с севера на юг. Если вы стоите на экваторе (Земли), Северный небесный полюс находится на горизонте; RA, сторона треугольника, совпадает с горизонтом, а небесный экватор поднимается вертикально (представьте, как все, кроме горизонта, поворачивается по часовой стрелке вокруг точки А до тех пор, пока отрезок RAР не разместится горизонтально, а ETR – вертикально). Так как Р в этот момент окажется на горизонте, отрезки ER и ET совпадут. В этом случае легко вычислить восхождение ET = ER (время, необходимое для восхода сегмента эклиптики ЕА) как длину стороны прямоугольного сферического треугольника EАR, зная ε и склонение AR. Но если вы находитесь не на экваторе, так что R не совпадает с T, наклонное восхождение ET нужно искать, вычитая TR (разность восхождений) из прямого восхождения ER. Разность восхождений – это функция от широты, на которой находится наблюдатель (φ), поскольку угол АTR равен 90° – φ (не забывайте, что высота Полярной звезды показывает, на какой широте вы находитесь)

Сидя в Сент-Олбанском скриптории, Джон Вествик, осторожно следуя по стопам Птолемея, должно быть, представлял себе Полярную звезду, сияющую высоко в небе Нортумбрии. У него была возможность облегчить себе задачу, поскольку таблиц прямого восхождения он мог найти сколько угодно. Даже Ричард Уоллингфордский предусмотрительно добавил две таблицы прямого восхождения в свой трактат об альбионе и внес туда значения для различных исходных положений. То есть этими данными Джон уже располагал. Он пользовался таблицей, которую скопировал так аккуратно, что смог заметить и исправить в своем экземпляре рукописи всего одну-единственную ошибку[331]. Но чтобы вывести данные для 55-й параллели, на которой находится Тайнмут, – адаптировать цифры прямого восхождения к конкретному наклонному восхождению, – ему нужно было обратиться к «Альмагесту».

В XIV веке отыскать в Англии копию этого монументального труда было не так-то просто. Несмотря на славу «Альмагеста», постичь его сложную науку мог далеко не каждый астроном. Кроме того, чтобы скопировать все 13 книг, требовалось как минимум 120 листов дорогого пергамента, не говоря уже о чернилах и затраченных усилиях. Неудивительно, что многие астрономы – и порой даже сам Уоллингфорд – пользовались выдержками или кратким пересказом книги Птолемея, например принадлежавшим перу неизвестного автора «Малым Альмагестом», который был в ходу с середины XIII века[332]. Джон, скорее всего, тоже обходился такими сокращенными пособиями.

К счастью для него, в Сент-Олбанской библиотеке имелось достаточно трудов по астрономии, чтобы обеспечить его необходимым справочным материалом. Он просчитал 360 значений наклонного восхождения одно за другим, внимательно сверяясь с необходимыми данными в таблицах хорд и склонений. Результатом его усилий стала аккуратная таблица, с точностью до минуты выдающая длину дуги экватора, которая поднимается над горизонтом Северного моря вместе с каждым градусом эклиптики (рис. 5.5). Таблица была серьезным подспорьем астроному. Длину любого дня, например, легко можно было определить, зная положение Солнца на эклиптике. В самый длинный день, когда Солнце переходило в знак Рака, Джон просто вычитал соответствующее табличное значение из того, что соответствовало положению Солнца на противоположной стороне неба, т. е. через 180°.

Рис. 5.5. Tabula ascensionum signorum in circulo obliquo in latitudine 55 graduum (Таблица восхождений знаков зодиака для наклонной окружности на широте 55°): Тайнмут

Если перевести длину дуги экватора в часы из расчета 15°/час, мы получим продолжительность самого длинного светового