Пусть у нас есть непрозрачный сосуд с белыми шарами, и мы хотим предсказать цвет шара, который случайным образом вытаскиваем. Нам не нужно задавать вопросов — цвет шара всегда белый. Значит, неопределенность исхода равна нулю.

Если же в нашем сосуде смесь белых и черных шаров, то максимальная неопределенность равна единице, поскольку ответ на единственный вопрос, а именно, «шар белый?», устраняет всякую неопределенность. При четырех цветах неопределенность разрешается двумя вопросами, при восьми — тремя, и так далее.

…вообще говоря, если мы имеем n цветов, то максимальное среднее количество вопросов, необходимых, чтобы точно определить исход, есть H=log2 (n)… Если же число шаров разного цвета неодинаково, то неопределенность имеет величину меньше максимальной. В этом случае мы должны вычислить сумму Н= —Σ[p log2 (p)] по всем вероятностям р…

Проще говоря, неопределенность предсказания увеличивается при увеличении числа возможных исходов. В детерминированной системе, которая не допускает различных исходов, неопределенность Н стремится к нулю при увеличении точности определения начального состояния. В недетерминированной системе, такой как, например, квантовомеханическая, существует принципиально неустранимая неопределенность, которая всегда больше нуля, поскольку любая суперпозиция состояний предполагает не один, а целый набор возможных исходов с вероятностями, меньшими единицы.

Например, если электрон проходит через двойную щель, то мы не можем предсказать, в какую точку мишени он затем попадет, но знаем лишь распределение вероятностей попадания в виде дифракционной картинки. Таким образом, конечное состояние этого единственного электрона обязательно будет неопределенным, и уточнить его можно лишь с помощью ряда вопросов — уже после попадания в мишень.

Заметим, что концепция неопределенности не имеет смысла в отсутствие предсказателя и его конкретного предсказания. В случае сосуда с цветными шарами неопределенность очень различна в случаях, если мы предсказываем:

1) что вытащим шар;

2) что вытащим белый шар;

3) что вытащим белый шар, весящий один грамм.

Разумеется, софист может представить квантовую механику в виде детерминистской системы, сделав абсолютно верное предсказание, что реализуются лишь те исходы, которые описываются данным волновым уравнением. Это полезное предсказание, но оно говорит с определенностью лишь о том, что не произойдет, а то, что произойдет, все равно имеет неопределенность, которую можно вычислить. Определенность в данном случае требует больше ответов на вопросы, чем квантовая механика способна извлечь из любого набора начальных условий, независимо от того, как точно они измерены.

В качестве полезного и приятного упражнения можно попробовать вычислить принципиально неустранимую неопределенность, связанную с какой-либо физической системой, которую можно описать квантовомеханическими уравнениями, — и автор настоятельно советует студентам это проделать. Подсказка: в первую очередь следует определить все возможные исходы и их вероятности, затем, используя интегральную форму Н…

Перед тем, кто научился работать с неопределенностями, открывается поистине чудесный мир. Это позволяет, к примеру, очень просто вывести второй закон термодинамики из первых принципов. Можно пойти еще дальше и получить свойство второго закона, связанное с симметрией времени: если обратить время, то прошлые события НЕ повторятся в обратном порядке так, что энтропия будет уменьшаться — наблюдатель в обратном времени по-прежнему увидит мир с увеличивающейся энтропией.

Можете ли вы построить убедительное доказательство того, что человек, живущий в обращенном времени, все равно состарится и умрет, или что в течение нескольких мгновений после обращения времени вода в реке сдвинется вверх, но затем вновь потечет, как положено, вниз к морю? Покажите математически, что скорости и координаты молекул воды, необходимые для того, чтобы вода потекла вверх и поднялась к небу в виде капель дождя, должны быть одновременно определены с точностью на много порядков большей, чем допускает принципиальная неопределенность, налагаемая квантовой механикой.

Объясните, почему заключения о прошлом содержат ту же самую неустранимую неопределенность, что и предсказания будущего, и те же размножающиеся точки ветвления. Докажите, что только во вселенной с неограниченными возможностями хранения информации внутри объемов, меньших планковой длины в кубе, обращение времени может заставить мертвые тела выходить из могил, взрослых людей — уменьшаться, превращаясь в младенцев и возвращаясь в утробу матери, а уран — терять радиоактивность.

Вычислите радиус сферы, у которой неопределенность числа π дает десятипроцентную вероятность того, что π меньше, чем 3.

Курс элементарной физики, Азинийская школа

Эрону не терпелось приступить к занятиям, но он не знал, с чего начать. Составить ему программу и проследить за ее выполнением было некому. У него не было ни регулярных учебных часов, ни экзаменов, он не был включен ни в одну из групп — все это было просто дико и сильно раздражало Эрона. Один раз Жак пожалел его и взял с собой на лекцию. В целом это был захватывающий экскурс в дебри высшей физики, но разобраться в деталях оказалось совершенно невозможно. Возникало ощущение, будто он скорчился на краю пропасти, откуда все нормальные предметы внизу кажутся крошечными, а опытный всезнающий скалолаз стоит сзади и подталкивает его в спину.

В отчаянии Эрон обратился к куратору с просьбой спланировать для него хоть какой-то учебный курс. В ответ Рейнстоун, разумеется, заговорил о поэзии. Эрон стоял и терпеливо слушал его, послушно изображая восторг и благоговение. Старик так обрадовался, заполучив наконец аудиторию, что начал декламировать целые эпизоды из саги собственного сочинения, превратив это в настоящее представление. Встав с кресла, он начал ходить взад-вперед по комнате, яростно жестикулируя и принимая театральные позы, и так увлекся, что Эрону пришлось вежливо прервать его и напомнить о цели своего визита. Но все было бесполезно: в ответ он получил лишь несколько новых сборников стихов.

— Это вдохновит тебя, — сказал куратор на прощание.

Марра попыталась помочь новичку и просидела с ним битый час у информационной панели, показывая списки учебных курсов и что-то сбивчиво объясняя. На трехмерном экране беспорядочно прыгали и разворачивались тексты, анимированные картинки, соперничая, вытесняли друг друга, все было расплывчато и опять-таки совершенно непонятно. В конце концов Марра заметила одну из новых книг, подаренных Рейнстоуном (это был перевод «Илиады» и «Одиссеи» на стандартный галактический), и тут же исчезла с ней в своей комнате.

Эрон упорствовал. Чтобы сузить круг поисков, он попытался выяснить, какие курсы необходимы студенту-психоисторику. Тут мнения выдвигались самые разнообразные, но никто из тех, кого он спрашивал, не мог ничего сказать наверняка. Не спрашивать же у самого Братства! Эрон был просто ошарашен. Как это понимать? Братство психоисториков выбирало для себя студентов из школ, подобных Азинии, и в то же время не предоставляло им никаких учебных курсов? Абсурд! Эрон опустил руки и несколько вахт подряд ел, спал и ничего не делал. Он пропустил очередную встречу с куратором, перестал ходить на лекции и презентации и уже не помнил, когда в последний раз включал информационную панель.