параметрами, приведенными в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Параметры активов, и

Активы

Параметры

активов

А1

А2

А3

15

10

5

0,14

0,13

0,12

На рис. 1.4 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования, и в каждый актив, и. Для наглядности внутренняя область достижимого множества заполнена кривыми, которые построены при фиксированных значениях.

Рис. 1.4. Достижимое множество портфелей, которые содержат три актива, и

Анализ рис. 1.4 показывает, что внешняя граница и внутренняя область достижимого множества формируется бесконечным множеством дуг гипербол, сплошь заполняющих фигуру. Закономерности заполнения данной фигуры дугами гипербол, которые показаны пунктирными линиями, наглядно демонстрируется на рис. 1.4.

Внутренняя область достижимого множества содержит точки пересечения дуг гипербол. Это означает, что портфели с одинаковыми значениями МО доходности и СКО доходности могут быть сформированы несколькими вариантами объёмов инвестирования, и.

Внешняя граница достижимого множества по форме напоминает зонт [1] и состоит из пилообразной части и выпуклой части.

Пилообразная часть внешней границы достижимого множества формируется точками (портфелями, содержащими только один актив), и, а также дугами гипербол с вершинами, и, попарно соединяющими эти точки (портфелями, содержащими только два актива):

дугой, которая формируется при;

дугой, которая формируется при;

дугой, которая формируется при.

Характерной особенностью выпуклой части достижимого множества является наличие вершины (,). Портфель, соответствующий точке, обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества, что достигается при объёмах инвестирования в активы,

Следует отметить, что СКО доходности портфеля заметно отличается в меньшую сторону от СКО доходностей исходных активов, и. То есть доходность портфеля является наиболее устойчивой из всего допустимого множества портфелей (в [1] портфель называют наименее рискованным, так как СКО доходности ассоциируется с риском).

Координаты вершины выпуклой части достижимого множества и соответствующие объёмы инвестирования в активы, и можно определить не только численными методами, но методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Учитывая, что преобразуем выражение для дисперсии доходности портфеля к виду

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля, содержащего три актива, решим систему уравнений

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы, и, при которых достигается минимум СКО доходности портфеля

где

Рассмотренный подход позволяет определить координаты и вершины достижимого множества, которая соответствует портфелю с минимальным значением СКО доходности.

Аналогичный подход может быть использован для расчёта объёмов инвестирования в активы, и, при которых достигается минимум СКО доходности портфеля для заданного значения МО доходности портфеля. Другими словами, представляется возможным вывести соотношения для расчёта границы выпуклой части достижимого множества.

Учитывая, что и, получаем

Такое представление объёмов инвестирования и позволяет преобразовать выражение для дисперсии доходности портфеля как функцию объёма инвестирования

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля при заданном значении МО доходности портфеля необходимо решить уравнение

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы, и

где:

Анализ полученных соотношений показывает, во — первых, объёмы инвестирования, и прямо пропорциональны МО доходности портфеля, следовательно, граница выпуклой части достижимого множества является гиперболой. Во — вторых, условия, и ограничивают данную гиперболу. Координаты точек и, которые ограничивают гиперболу, могут быть определены из условий, На рис. 1.4 такими точками являются, и, которые соответствуют портфелям с двумя активами. В — третьих, граница выпуклой части достижимого множества формируется:

на участке — дугой гиперболы, т. е. двумя активами и;

на участке — дугой гиперболы, т. е. тремя активами, и;

на участке — дугой гиперболы, т. е. двумя активами и.

Таким образом, три рискованных актива, и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на плоскости в виде сложной фигуры, где точка является вершиной достижимого множества. Граница достижимого множества формируется дугами трёх гипербол.

Достижимое множество портфелей, содержащих рискованных активов. Как следует из предыдущего примера, из — за громоздких формул уже при для определения достижимого множества целесообразно использовать исключительно численные методы.

На конкретном примере рассмотрим особенности достижимого множества портфелей, которые содержат десять активов () с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Параметры активов

Активы

Параметры

активов

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

13,0

12,0

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

0,400

0,378

0,356

0,333

0,311

0,289

0,267

0,244

0,222

0,200

На рис. 1.5 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования в каждый актив. Сравнительный анализ рис. 1.4 и 1.5 показывает, что при и особенности построения, характер заполнения внутренней области и форма внешних границ достижимых множеств качественно идентичны.

Рис. 1.5. Достижимое множество портфелей, которые содержат десять активов

Следует отметить, что, во — первых, портфель, соответствующий точке, обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества. Во — вторых, некоторые инвесторы отдают предпочтение портфелям с равномерным распределением объёмов инвестирования в каждый актив. На достижимом множестве рис. 1.5 такой вариант портфеля (т. е. при) соответствует точке (,). В — третьих, как правило, для снижения рисков инвестор ограничивает максимальный объём инвестирования в i—ый тип актива. Например, ограничение максимального объёма инвестирования в каждый актив до 20 % приводит к сжатию достижимого множества, как это показано на рис. 1.5 в виде выделенной пунктирной линией внутренней области достижимого множества. Данная область окружает точку, которая соответствует портфелю с равномерным распределением объёмов инвестирования.

Таким образом, при рискованные активы порождают достижимое множество портфелей, которое по своим основным качественным характеристикам идентично достижимому множеству портфеля, содержащего три актива.

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованных активов. Представим совокупность из рискованных активов как актив с параметрами

Учитывая соотношения (1.12), (1.13), (1.20) и (1.21), получаем

здесь.

То есть комбинацию безрискового актива с совокупностью рискованных активов с объёмами инвестирования можно представить как комбинацию безрискового актива с одним рискованным активом. Для такой комбинации активов достижимое множество портфелей находится на отрезке прямой, соединяющей точки и.

Анализ полученных соотношений показывает, что относительный объём инвестирования в i—ый рискованный актив портфеля составляет, но доли рискованных активов по стоимости актива остаются неизменными.

На рис. 1.6 представлено достижимое множество портфелей, которые содержат комбинацию безрискового актива и совокупность рискованных активов.

Рис. 1.6. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и совокупность рискованных активов

Анализ рис. 1.6 показывает, что, во — первых, участок границы достижимого множества является частью границы достижимого множества. Во — вторых, две