Однако история показала, что Доджсон был неправ. Гамильтон расширил концепцию числа, включив в нее кватернионы, что разорвало связующую нить между числами и смыслом, существовавшую до этого. Теперь математики считают само собой разумеющимся создание новых типов чисел исключительно на основании формальных определений. Смысл может быть найден (как это произошло с комплексными числами, которые оказались точками на комплексной плоскости) или нет. Задача состоит в том, чтобы исследовать закономерность и структуру и понять, к чему это вас приведет.

К концу XIX века другие математические теории вытеснили кватернионы, но Гамильтон был бы безумно счастлив узнать, что на протяжении последних нескольких десятилетий они снова широко используются. Кватернионы применяются в процессе компьютерных расчетов трех осей вращения объектов, находящихся в полете, — продольной, поперечной и вертикальной. Различные организации и компании, работающие в таких отраслях, как аэронавтика и компьютерная графика, от NASA до Pixar, используют кватернионы в своем программном обеспечении.

Невозможно создать дееспособную систему счисления с пятью, шестью или семью упорядоченными действительными числами, но для восьми чисел такая система существует — она обозначается термином «октонион» и записывается как (a, b, c, d, e, f, g, h). Октонион — это идея, ждущая воплощения, и, скорее всего, ждать осталось недолго. Один из основных претендентов на роль «теории всего», объединяющей квантовую механику и Общую теорию относительности, — это М-теория, один из вариантов теории струн, в которой элементарные частицы атома считаются струнами[136] М-теория оперирует 11 измерениями, состоящими, по мнению ряда ученых, из восьми измерений октониона и трех пространственных измерений. Гамильтон записал свои идеи на кладке ирландского моста, но они, возможно, изначально вплетены в ткань мироздания.

Бертран Рассел, единственный математик, получивший Нобелевскую премию по литературе, описывал красоту математики так: «Математика, при правильном на нее взгляде, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобно скульптуре, не обращенной ни к какой стороне нашей слабой натуры, лишенной украшений живописи и музыки и тем не менее утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшему искусству»[137]. Тождество Эйлера, совершенное и глубокое, полностью соответствует этому описанию. Математическая красота может быть и эстетичной, хотя Рассел не дожил до того дня, когда мог бы увидеть это воочию. В 1980 году, через десять лет после его смерти, на комплексной плоскости была открыта фигура, оказавшаяся настолько поразительной и неординарной, что это изменило ход наших мыслей не только в отношении математики, но и науки в целом.

Прежде чем рассказать об этом, я должен познакомить вас с концепцией итерации, которая представляет собой процесс многократного повторения одной и той же операции. Мы затронули эту тему в предыдущей главе, когда говорили о последовательности, каждый член которой в два раза больше предыдущего:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Вместо того чтобы записывать все члены последовательности, я мог бы определить ее как итерацию x → 2x, в которой первый член равен 1:

1 → 2

2 → 4

4 → 8

И так далее.

Итеративность этого процесса обусловлена тем, что результаты каждого действия (в данном случае удвоения) используются в качестве исходных данных для следующего действия. Итерация — это система с обратной связью: число, полученное на выходе, снова подается на вход, обеспечивая получение нового числа, и т. д.

А теперь давайте рассмотрим простую итерацию x → x2.

Если мы начнем с 1, то получим следующие значения:

1 → 12 = 1

1 → 1

1 → 1

Другими словами, эта последовательность состоит из бесконечного количества единиц.

Если начнем с 2, последовательность будет такой:

2 → 22 = 4

4 → 16

16 → 256

256 → 65536 → …

Эта последовательность стремится к бесконечности.

Если же последовательность начинается со значения 0,1, тогда мы получим:

0,1 → (0,1)2 = 0,01

0,01 → 0,0001

0,0001 → 0,00000001 → …

Эта последовательность стремится к нулю.

Мы можем обобщить поведение всех чисел, принимающих участие в этой итерации. Если положительное число n больше 1, его квадрат n2 больше n, а значит, числа, полученные посредством итерации, становятся все больше. Если положительное число n меньше 1, тогда n2 составляет долю от n, то есть числа, полученные посредством итерации, все время уменьшаются и стремятся к нулю. Поскольку квадрат отрицательного числа — это положительное число, все числа меньше −1 стремятся к бесконечности, а все отрицательные числа от −1 до 0 — к нулю.

Назовем числа, которые стремятся к бесконечности, словом «беглецы», а числа, которые не делают этого, — словом «узники». В случае итерации x → x2 мы видели, что число 2 — это беглец, а числа 1 и 0,1 — узники. В оставшейся части главы мы будем искать узников любой итерации, которых обозначим как «множество узников». В итерации x → x2 множество узников — это числа от −1 до 1; на представленном ниже рисунке они отмечены жирной линией.

Множество узников итерации x → x2

Рассмотрим новую итерацию x → x2 + c, где c — исходное значение итерации. Другими словами, наша система с обратной связью поглощает немного больше информации, чем обычно. Она начинает с числа c, возводит его в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c и т. д. Это небольшое изменение правил влечет за собой серьезные последствия в плане определения того, какие исходные значения относятся к узникам, а какие — к беглецам.