1931 году Харолд Джефрис (более известный как геофизик, чем как теоретик вероятности) ввел стандартную сегодня вертикальную черту в P (S | T).

Как мы видели, правило Байеса с формальной точки зрения — элементарное следствие его определения условной вероятности. Но с эпистемологической точки зрения оно далеко не элементарно. Более того, оно действует как нормативное правило для регуляции убеждений в ответ на доказательства. Другими словами, байесовское правило стоит рассматривать не только как удобное определение для нового понятия условной вероятности, но как попытка на практике достоверно представить английское выражение «при условии, что я знаю». Помимо прочего, оно означает, что вера в S, которую приобретает человек, открыв T, всегда не менее сильна, чем вера, которую человек питает по отношению к S и T до того, как откроет T. Более того, оно подразумевает, что чем удивительнее факт T, т. е. чем меньше P (T), тем сильнее должна быть вера в его причину S. Не случайно Байес и его друг Прайс, будучи епископальными священниками, видели в этом удачную отповедь Юму. Если T — чудо («Христос воскрес из мертвых»), а S — тесно связанная с ним гипотеза («Христос — сын Бога»), наша степень веры в S радикально повышается, когда мы точно знаем, что T — правда. Чем чудеснее чудо, тем больше доверия заслуживает гипотеза, которая обосновывает его возникновение. Это объясняет, почему авторы Нового Завета были так сильно впечатлены свидетельствами очевидцев.

А теперь я хотел бы обсудить практическое возражение правилу Байеса, которое, возможно, становится важнее, когда мы выходим из рамок теологии и переходим на территорию науки. Если попытаться применить это правило к головоломке с бильярдным шаром, чтобы найти P (L | x), то понадобится величина физики бильярдных шаров, недоступная нам: нам нужна априорная вероятность длины L, которую так же сложно определить, как и желаемую P (L | x). Более того, эта вероятность будет значительно отличаться в зависимости от индивидуального опыта каждого со столами разной длины. Человек, который никогда в жизни не видел стола для снукера, будет сильно сомневаться в том, что L может оказаться больше 10 футов. Однако человек, который видел только столы для снукера и не видел классического бильярдного стола, счел бы L меньше 10 футов крайне маловероятной. Эту переменчивость, также известную как субъективность, иногда считают недостатком причинного вывода по Байесу. Между тем есть мнение, что она дает мощное преимущество, поскольку позволяет выразить личный опыт математически и объединить его с данными — последовательно и прозрачно. Правило Байеса направляет наши рассуждения в тех случаях, когда подводит обычная интуиция или вмешиваются эмоции. Мы продемонстрируем это преимущество на примере знакомой всем нам ситуации.

Предположим, вы прошли медицинское обследование, чтобы узнать, есть ли у вас заболевание, и результат оказался положительным. Насколько вероятно, что вы действительно больны? Ради конкретности предположим, что речь идет о раке груди, а метод обследования — маммография. Здесь прямая вероятность — это вероятность положительного результата в случае, если вы действительно больны: P (обследование | болезнь). Врач назвал бы это «чувствительностью» обследования, подразумевая его способность правильно выявлять болезнь. Как правило, это одинаковая величина для всех пациентов, потому что она зависит только от технических возможностей прибора, выявляющего связанные с заболеванием отклонения. Обратная вероятность, скорее всего, окажется для вас более важной: какова вероятность, что вы больны, если результат оказался положительным? Это P (болезнь | обследование), и здесь информация идет не в причинном направлении, а от результата обследования к вероятности болезни. Вероятность не одинакова для всех типов пациентов; безусловно, положительный результат будет более тревожным для пациентки с семейным анамнезом болезни, чем для пациентки без такого анамнеза.

Обратите внимание, что мы начали говорить о причинных и непричинных направлениях. Мы не сделали этого в примере с чайной, потому что там было не важно, что делали в первую очередь — заказывали чай или просили пирожные. Было важно одно: какую условную вероятность можно оценить. Но причинно-следственный контекст проясняет, почему мы чувствуем себя менее уверенно, оценивая обратную вероятность, а в эссе Байеса прямо говорится, что его интересовала именно эта задача.

Предположим, 40-летней женщине сделали маммографию, чтобы проверить, нет ли у нее рака груди, и результаты оказались положительными. Гипотеза D (от англ. disease — «болезнь») состоит в том, что у нее рак. Доказательство, T (от англ. test — «анализ, обследование») представляет собой результат маммографии. Насколько стоит верить этой гипотезе? Следует ли делать операцию?

Мы можем ответить на эти вопросы, переписав правило Байеса следующим образом:

Обновленная вероятность D = P (D | T) = Отношение правдоподобия × Априорная вероятность D (1),

где новый термин «отношение правдоподобия» определяется как P (T | D) /P (T). Он измеряет, насколько вероятнее положительный результат обследования у людей с этим заболеванием, чем у населения в целом. Таким образом, уравнение (1) говорит, что новые данные T увеличивают вероятность D на фиксированную пропорцию независимо от того, какой была априорная вероятность.

Приведем пример, чтобы увидеть, как работает эта важная концепция. У обычной 40-летней женщины вероятность заболеть раком груди в следующем году — приблизительно 1:700, поэтому мы будем использовать ее в качестве априорной вероятности.

Чтобы вычислить отношение правдоподобия, нам нужно знать P (T | D) и P (T). В медицинском контексте P (T | D) — это чувствительность маммограммы, т. е. вероятность положительного результата, если у пациентки рак. По данным Консорциума по надзору за раком груди (Breast Cancer SUrveillance ConsortiUm; BCSC), чувствительность маммограммы для 40-летних женщин составляет 73 %.

Со знаменателем P (T) дело обстоит немного сложнее. Положительный результат T может быть получен как от пациенток, у которых есть эта болезнь, так и от пациенток, у которых ее нет. Таким образом, P (T) должно быть средневзвешенным значением P (T | D) (вероятность положительного результата у тех, кто болеет) и P (T | ~D) (вероятность положительного результата у тех, кто этим не болеет). Второй называют уровнем ложноположительных результатов. Согласно BCSC, уровень ложноположительных результатов для 40-летних женщин составляет около 12 %.

Почему средневзвешенная? Потому что здоровых женщин (~D) намного больше, чем женщин, больных раком (D). Фактически только 1 из 700 женщин страдает этим недугом, а остальные 699 — нет, поэтому вероятность положительного результата теста для случайно выбранной женщины должна гораздо сильнее зависеть от 699 женщин, у которых нет рака, чем от одной женщины, у которой он есть.

Получить средневзвешенное значение можно с помощью следующих вычислений: P (T) = 1/700 ∙ 73 % + 699/700