Более того, стремление установить причинно-следственные связи было движущей силой для его анализа «обратной вероятности».

Преподобный Томас Байес, пресвитерианский священник, живший с 1702 по 1761 годы, очевидно, был сильно увлечен математикой. Отколовшись от англиканской церкви, он не мог учиться в Оксфорде или Кембридже и вместо этого получил образование в Эдинбургском университете, где, вероятно, немало занимался любимой наукой. После того как Байес вернулся в Англию, он продолжал баловаться математикой и организовывать математические обсуждения.

В статье, опубликованной после его смерти, Байес разобрал задачу, которая была для него идеальной: столкнул математику и теологию. Это произошло в следующих обстоятельствах: в 1748 году шотландский философ Дэвид Юм написал эссе под названием «О чудесах», в котором утверждал, что личное свидетельство никогда не может служить подтверждением для чуда. Чудом, которое Юм имел в виду, было, конечно, воскресение Христа, хотя он был достаточно умен, чтобы этого не сказать (20 годами ранее теолог Томас Вулстон был обвинен в богохульстве и сел в тюрьму за такие утверждения). Главная мысль Юма состояла в том, что наблюдения, которые по природе своей могут быть ошибочными, не способны опровергнуть положение, основанное на законах природы, например: «Мертвые люди остаются мертвыми».

В глазах Байеса это утверждение приводило к естественном вопросу, прямо в духе Холмса: сколько доказательств необходимо, чтобы убедить нас в том, что события, которые мы считаем невероятными, все же произошли? Если исключить невозможное, то, что останется, и будет правдой, сколько бы невероятным это ни казалось. Когда гипотеза переходит границу между невозможным и невероятным или даже между вероятностью и подлинной уверенностью? Хотя этот вопрос был выражен на языке вероятности, за ним стояли намеренно богословские выкладки. Ричард Прайс, коллега-священник, который нашел эссе в вещах Байеса после его смерти и отправил его в печать с хвалебным вступлением, написанным самолично, выразил эту мысль предельно ясно: «Цель, которую я имею в виду, состоит в том, чтобы показать, по какой причине мы верим, что в порядке вещей существуют неизменные законы, в соответствии с которыми все происходит, и что, таким образом, мироустройство должно быть результатом мудрости и мощи разумной причины, а значит, подтвердить аргумент, основанный на конечных причинах, в пользу существования Всевышнего. Будет легко увидеть, что обратную проблему, решенную в этом эссе, легче применить для этой цели; она показывает нам ясно и точно, каковы основания полагать, что в любом случае каждого конкретного порядка и повторяемости событий этот порядок или повторяемость объясняются стабильной причиной и законами природы, а не случайностями, не подчиненными порядку».

Сам Байес не касался ничего этого в своем тексте; Прайс подчеркнул эти теологические выводы — возможно, чтобы эффект от работы друга был более масштабным. Но оказалось, что Байес не нуждался в помощи. О его работе помнят и ее обсуждают 250 лет спустя, и не из-за теологического значения, а потому, что она показывает: вероятность причины реально вывести из следствия. Если мы знаем причину, легко оценить вероятность следствия — прямую вероятность. Пойти в другом направлении — эту задачу во времена Байеса называли обратной вероятностью — сложнее. Байес не объяснил, почему она сложнее, — он счел это самоочевидным, доказал возможность ее решить и показал нам, как это сделать.

Чтобы оценить суть этой проблемы, давайте рассмотрим пример, который он сам предложил в работе 1763 года, напечатанной посмертно. Представим, что мы делаем удар кием по бильярдному мячу на столе и стараемся, чтобы он отскочил много раз — так, чтобы у нас не было представления о том, где он окажется. Какова вероятность того, что он остановится через X футов от левого края стола? Если мы знаем длину стола и если он абсолютно гладкий и плоский, это очень легкий вопрос (рис. 13а). Так, на 12-футовом столе для снукера вероятность того, что мяч остановится в футе от края, составит. На восьмифутовом бильярдном столе вероятность будет.

Рис. 13. Пример Томаса Байеса с бильярдным столом: а — в первом варианте, с вопросом о прямой вероятности, мы знаем длину стола и хотим вычислить вероятность того, что шар остановится в x футах от края; б — во втором варианте, с вопросом об обратной вероятности, мы наблюдаем, что шар остановился в x футах от конца и хотим оценить вероятность того, что длина стола составляет L (источник: рисунок Маян Харел)

Интуитивное понимание физики говорит нам, что в общем, если длина стола составляет L футов, вероятность того, что шар остановится в X футах от края составляет x/L. Чем больше длина стола L, тем ниже вероятность, потому что за право зваться конечным положением шара соревнуются больше позиций. Сдругой стороны, чем больше x, тем выше вероятность, поскольку она включает большее число конечных позиций.

Теперь рассмотрим проблему обратной вероятности. Мы наблюдаем конечное положение шара, в котором x = 1 фут от края, но не знаем длины (рис 13б). Преподобный Байес спросил: какова вероятность того, что длина была, скажем, 100 футов? Здравый смысл подсказывает, что длина, вероятнее, составила 50 футов, а не 100, ведь чем длиннее стол, тем труднее объяснить, почему шар оказался так близко к краю. Но насколько это вероятнее? «Интуиция» или «здравый смысл» не дает нам четких указаний.

Почему прямую вероятность (x при известном L) настолько легче оценить в уме, чем вероятность L при известном x? В этом примере асимметрия объясняется тем фактом, что L выступает в роли причины, а x — следствия. Если мы наблюдаем причину, скажем Бобби бросает мяч в окно, большинство может предсказать эффект (мяч, вероятно, разобьет окно). Человеческое познание работает в этом направлении. Но при известном следствии (окно разбито) нам требуется гораздо больше информации, чтобы вывести причину (кто из мальчиков бросил мяч, разбивший окно, или было ли окно вообще разбито мячом). Чтобы учесть все возможные причины, необходим ум Шерлока Холмса. Байес решил удалить эту когнитивную асимметрию и объяснить, как даже обычные люди могут оценить обратную вероятность.

Чтобы посмотреть, как работает метод Байеса, давайте начнем с простого примера о посетителях чайной, о которых у нас есть данные: мы знаем об их предпочтениях. Данные, как нам известно из главы 1, совершенно не в курсе, что существует асимметрия причины и следствия, а значит, с их помощью мы можем найти способ, как разрешить загадку обратной вероятности.

Предположим, что две трети покупателей приходят заказать чай и что половина пьющих чай также заказывают пирожные. Какова будет доля клиентов, которые закажут и чай, и пирожные? В этом