«Больше – значит по-разному». Anderson (1972).

Сравнительная хрупкость животных. Diamond (1988).

Фливберг и коллеги по опозданиям. Flyvbjerg (2009), Flyvbjerg and Buzier (2011).

Маленькое красиво, романтический взгляд. Dahl and Tufte (1973), Schumacher (1973) – для звучных цитат. Kohr (1957) – в качестве первого манифеста против размера властных структур.

Размер правительства. Я не смог найти тех, кто рассуждает об этой проблеме в терминах выпуклости, даже среди либертарианцев. Пусть будет Kahn (2011).

Маленькие государства живут лучше. Древняя традиция изучения городов-государств и управления ими. Кажется, наше восприятие политической системы зависит от размера. Свидетельства см. в Easterly and Kraay (2000).

Эпоха увеличения хрупкости. Zajdenwebber, см. обсуждение в «Черном лебеде». Уточненные цифры см. в The Economist, Counting the Cost of Calamities, 14.01.2012.

Эффект выпуклости на среднюю величину. Jensen (1906), Van Zwet (1966). Йенсен рассматривает монотонные функции, ван Цвет – вогнуто-выпуклые и прочие, но не выходит за пределы простой нелинейности. Taleb and Douady (2012) применили рассуждение ко всякой локальной нелинейности.

Эмпирические свойства укрупнения. Слияния и гипотеза высокомерия: Roll (1986); из недавних работ – Cartwright and Schoenberg (2006).

Долг в древней истории. Вавилонские праздники: Hudson et al. (2002). Афины: Harrison (1998), Finley (1953). История долга: Barty-King (1997), Muldrew (1993), Glaeser (2001). Последний рассматривает ее с точки зрения анархизма. Он на самом деле считает, что долг возник прежде бартерного обмена.

Пищевые цепочки. Dunne et al. (2002), Perchey and Dunne (2012), Valdovinos and Ramos-Jiliberto (2010). Хрупкость и ресурсы: Nasr (2008, 2009).

Fannie Mae. Компания была вогнутой в отношении любых значимых переменных. Какой-то обиженный непониманием вероятности и нелинейности парень из комиссии Обамы, изучавшей причины кризиса, пустил слух, будто бы я всего лишь распознал риск Fannie Mae в отношении процентной ставки. Неправда.

Издержки исполнения. «Издержки ценового влияния», они же издержки исполнения, растут вместе с масштабом; они выражаются формулой с квадратным корнем – что означает, что суммарная цена выпукла и растет по формуле с показателем степени 3/2 (что означает, что расходы вогнуты). Но беда в том, что для больших отклонений, таких, как в случае с Société Générale, все куда хуже; операционные издержки растут с ускорением, и предсказать их точно невозможно – все статьи о «ценовом влиянии» по новой научной традиции бессмысленны ровно там, где они должны быть внятны. Что характерно, Бент Фливберг обнаружил, что схожий эффект, пусть и немного менее вогнутый в конечном итоге, наблюдается при строительстве мостов и туннелей – пропорциональные издержки растут с масштабом как 10 Log [x].

Маленькое красиво, математический подход. Объясним, почему города-государства, маленькие фирмы и т. д. куда менее уязвимы в отношении опасных событий. Пусть X, случайная переменная, обозначающая «непредусмотренный риск», – источник неопределенности (фирма Société Générale этого источника в упор не видела; для корпорации таким источником может быть острая нужда в переучете и т. д.). Предположим, что размер непредусмотренного вреда пропорционален размеру объекта, потому что у малых объектов транзакции меньше, у крупных больше. В качестве распределения вероятностей используем переменную суммарного непредусмотренного риска ΣXi, где Xi — независимые случайные переменные, определяемые просто как Xi = X/N. При хвостовой амплитуде k и хвостовой экспоненте α имеем: π (k, α, X) = α kα x–1 — α. N-свернутое распределение Парето для непредусмотренной суммы риска: N Σ Xi: π (k/N, α, X) N, где N – это число сверток распределения. Среднее значение распределения, инвариантное по отношению к N, – это α k/α–1).

Потери от вынужденных перерасходов. Пусть для функции потерь C[X] = – b Xβ, где издержки вреда – вогнутая функция от X. Для небольших отклонений β = 3/2 в литературе о микроструктуре и исполнении.

Итоговое распределение вероятностей вреда. Поскольку нас интересует распределение y, преобразуем стохастическую переменную. Для вреда y=C [X] имеем распределение π [C-1 [x]] /C’ [C-1 [x]]. Это распределение по Парето с хвостовой амплитудой kβ и хвостовой экспонентой α/β,

со средним значением

Теперь сумма: для суммы свертки для N объектов асимптотическое распределение имеет вид

со средним значением (ввиду суммируемости) в виде функции от переменных, включая N:

Если теперь мы посмотрим на соотношение ожидаемых потерь в хвостах от N=1 до N=10 при различных значениях отношения β к α, соотношение ожидания для одного объекта к ожиданию для 10 объектов

даст эффект «маленькое красиво» при разных уровнях вогнутости.

Субтрактивное знание

Карты. Читатель Жан-Луи, картограф, пишет: «Будучи картографом, я давно понял, что ключ к хорошей картографии – это ровно та информация, которую ты отбрасываешь. На примере многочисленных клиентов я видел, что если карта слишком буквальна и точна, она сбивает с толку».

Имам Али. Nahj-el-Balagha, Letter. 31.

Моисеев Бог не антихрупок. Потому что Бог – авраамический Бог Моисея (для иудеев, христиан и мусульман) – есть олицетворение абсолютной неуязвимости и непогрешимости. Хотя первое впечатление говорит об обратном, совершенство – это по сути неуязвимость, а не антихрупкость. Я получил немало писем, в которых предлагалось поместить (левантийского) Бога в антихрупкую категорию. Это было бы ужасной ошибкой, поскольку антихрупкость не вписывается в религии Восточного Средиземноморья. Антихрупкость божества прослеживается в вавилонской, греческой, сирийской и египетской мифологиях. Но левантийское монотеистическое богословие – начиная с семитского Эл (или Ал) и заканчивая Аллахом нового времени или, в меньшей степени, тем, кого зовут «Господом» в Библейском поясе, – от Книги Бытия до Корана описывало все более и более абстрактного Бога, отсюда и применимость к нему определения совершенной неуязвимости. Монотеистический Бог, конечно же, не хрупок; но он и не антихрупок. По определению он – благодаря своей максимальной абстрактности – не может стать еще лучше, ибо уже совершенен. Только несовершенные смертные могут стать лучше, откуда и появляется необходимость в антихрупкости. В Коране одно из свойств Бога – «смд», слово, синонима которого нет даже в арабском, так что оно непереводимо; его значение можно постичь лишь через итерацию частичных описаний. «Смд» – это существо, достигшее такой степени завершенности, что оно не зависит от внешних обстоятельств, от чего-либо или кого-либо; это оплот, спасающий от любой опасности; такой Бог превосходит даже понятие времени. Эта концепция присутствует и в других левантийских системах. Православное богословие ищет соединения с Богом через обожение, жаждет достичь того же уровня завершенности, чтобы обрести независимость от чего бы то ни было.