Материальные трудности заставили его заняться преподаванием английского языка, он читал лекции на английском языке по истории английской литературы во многих московских вузах: II МГУ (ныне Московский педагогический государственный университет), Государственном институте истории искусств им. Луначарского, ГИТИСе, Институте красной профессуры мирового хозяйства и мировой политики, на Высших курсах, в техникуме и даже различных группах. Михаил Морозов составлял учебники, хрестоматии и пособия для изучающих английский язык. Занимался теорией перевода, написал для заочников курс теории и практики перевода (был издан в 1932 году).

Его статьи и театральные рецензии печатались во многих журналах и газетах: «Новой мир», «Октябрь», «Красная новь», «Молодая гвардии», «Интернациональная литература» (на русском, английском и французском языках), «Правда», «Известия», «Литературная газета», «Советское искусство». Он редактировал книги и писал к ним предисловия.

Во время Великой Отечественно войны много сделал для пропаганды советской культуры за рубежом. Он часто выступал по английскому и американскому радио, работал для Совинформбюро.

В 1946 году Михаил Михайлович был избран членом совета и президиума Всероссийского театрального общества. С 1947 года он состоял старшим научным сотрудником Института истории искусств Академии наук СССР. Много лет проработал редактором советского англоязычного журнала «News».

Михаил Михайлович Морозов – один из основоположников современного российского шекспироведения, вдумчивый толкователь и комментатор драматургии У. Шекспира, которую в своей автобиографии он назвал «любимым делом». С 1928 года он проводил публичные чтения о Шекспире в Библиотеке иностранной литературы, а с 1937 по 1947 год возглавлял Кабинет Шекспира и зарубежного театра Всероссийского театрального общества (ВТО). Под его редакцией и в ВТО вышел ряд шекспировских сборников, посвященных судьбе постановок пьес этого великого британского драматурга на советской сцене. Михаил Морозов был одним из редакторов и соавтором «Истории английской литературы», подготовленной к печати в Институте мировой литературы Академии наук СССР. В 1941 году в издательстве Академии наук СССР вышел в свет сборник «Из истории английского реализма» с его статьей о языке и стиле Шекспира.

М. М. Морозов был одним из инициаторов издания «Шекспировских сборников» (первый выпуск вышел в 1947 г.), организовал девять шекспировских конференций. Эти конференции проходили даже во время Великой Отечественной войны. Таковой была IV Шекспировская конференция в 1942 году, которая вызвала широкий международный резонанс. После ее проведения было получено много приветствий от зарубежных коллег, деятелей театра и кино, научных и культурных организаций, шекспировских обществ. Свое искреннее восхищение мужеством советских ученых, говорящих о Шекспире в осажденной фашистами Москве, выразил Чарли Чаплин. На этой конференции М. М. Морозов выступил с докладом «Борьба за гуманизм в творчестве Шекспира». V Шекспировская конференция состоялась в ВТО через год (в апреле 1943 года), на ней М. М. Морозов сделал доклад «Советское шекспироведение во время Отечественной войны».

М. М. Морозов – автор целого ряда статей по истории английского поэзии и театральной драматургии, рецензий на советские театральные постановки. В книге «Комментарии к пьесам Шекспира» (1941) он совместил опыт театроведа и педантичного текстолога. Целью этой книги было оказание помощи актерам и режиссерам, работающим над театральным постановками шекспировских драм. Ученый утверждал, что «наука о Шекспире неразрывно связана с изучением театра и прошлого и настоящего», а российский театр считал «крупнейшим комментатором Шекспира». Работы Морозова связали между собой научное шекспироведение и театр, этой традиции последовали другие поколения отечественных шекспироведов.

Самое пристальное внимание в своих научных трудах Михаил Михайлович уделял анализу английского текста, он лично выполнил подстрочный комментированный перевод ряда пьес Шекспира («Отелло, венецианский мавр», 1944; с участием В. В. Левика – «Два веронца», 1945; «Конец – делу венец», 1946; при участии С. Я. Маршака – «Виндзорские насмешницы» для театра имени Вахтангова, 1951; «Трагедия о Гамлете, принце датском», 1954), пьес Шиллера, Мюссе.

Известный переводчик М. В. Урнов признавал огромное значение и авторитет М. М. Морозова в среде шекспироведов: «С естественной восторженностью писал и говорил он о достижениях выдающихся советских переводчиков, рассматривая их работу как новый этап в осмыслении Шекспира. Но восторженность, чрезвычайная отзывчивость, благожелательность Морозова не колебали его принципов и не препятствовали критике. Отмечая неудачи и промахи, он исходил из кардинальной задачи перевода и потому был строг и требователен. Вместе с тем он учитывал творческую индивидуальность переводчика, его возможности, указывал направление работы». Большую поддержку и помощь Михаил Михайлович оказал Борису Пастернаку во время его работы над переводами «Гамлета», «Ромео и Джульетты», «Короля Лира» и «Генриха IV». Эти переводы Б. Л. Пастернака были изданы с сопроводительными статьями и комментариями М. М. Морозова. Б. Л. Пастернак высоко ценил и признавал профессионализм ученого и так обращался к нему в военные годы: «Как и для других, для меня Вы живой авторитет, англовед и шекспиролог, знаток английского языка и литературы, и все то, что я Вам однажды писал: человек с огнем и талантом…» Михаил Михайлович отвечал Пастернаку взаимным уважением «прежде всего потому, что автором этих переводов является большой поэт», потому, что «он правильно понял самую задачу театрального перевода». И не случайно «лучшим художественным переводом Шекспира на русский язык» он считал перевод «Ромео и Джульетты» Пастернака: «Пастернак нашел живые интонации, нашел звучание речи каждого действующего лица. Перевод Пастернака порывает с тем традиционным представлением об этой пьесе как о картине пышного Ренессанса, Ренессанса в шелку и бархате, в шляпах с перьями, нарядного маскарада. Это не итальянская пьеса – это в большей степени картина в духе нидерландской школы, и в этом отношении Пастернак идет по следам Островского, переведшего „Укрощение строптивой“». Столь же высокие оценки ученого получил его перевод «Гамлета»: «Кроме того, как заметил зоркий критик Немирович-Данченко, выбравший пастернаковского „Гамлета“ для МХАТ, у Пастернака доминирует не просто слово, а слово-действие. Сравните с подлинником перевод Пастернака, и вы увидите, насколько он умеет переводить движение и жесты».

Борис Пастернак выразил свою благодарность ученому в шуточных стихах:

…И под руку с Морозовым —

Вергилием в аду —

Все вижу в свете розовом

И воскресенья жду.

Михаил Михайлович часто выступал в качестве консультанта переводчиков (В. В. Левик, М. Л. Лозинский, С. Я. Маршак, А. Д. Радлова и Т. Л. Щепкина-Куперник), режиссеров и актеров советского театра (Н. П. Акимов, В. Б. Вагаршян, А. А. Васадзе, Ю. А. Завадский, Г. М. Козинцев, Б. Н. Ливанов, С. М. Михоэлс, Н. Д. Мордвинов, А. А. Остужев, А. Д. Попов, Р. Н. Симонов, Г. С. Уланова, Н. П. Хмелев, А. Ходжаев, А. А. Хорава, А. А. Яблочкина). Круг его интересов и общения был необычайно широк.