Неизвестно, существует ли совершенный кубоид, т. е. существует ли такой параллелепипед Эйлера, главная диагональ которого тоже имеет целую длину. (Главная диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда и проходящий сквозь его внутреннюю часть. Таких отрезка четыре, но все они равны по длине.) Известно, что формулы Эйлера не дают примера такого параллелепипеда. Он, если существует, должен удовлетворять нескольким условиям — к примеру, по крайней мере одно его ребро должно быть кратно 5, другое — 7, третье — 11, четвертое — 19. Компьютерные эксперименты показали, что длина одного из ребер должна быть не менее одного триллиона.

Есть достаточно близкие варианты. У прямоугольного параллелепипеда со сторонами 672, 153 и 104 главная диагональ целая, как и две из трех диагоналей граней. В 2004 г. Хорхе Сойер и Клиффорд Рейтер доказали, что существуют совершенные непрямоугольные параллелепипеды. Грани таких параллелепипедов представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону. Ребра совершенного непрямоугольного параллелепипеда имеют длины 271, 106 и 103; малые диагонали граней равны 101, 266 и 255; большие диагонали граней — 183, 312 и 323; внутренние диагонали (а у такого параллелепипеда они все разные) имеют длины 374, 300, 278 и 272.

Эта задача из трудной для понимания области математики, известной как теория диофантовых приближений. Сформулировал ее в 1967 г. Йорг Виллс. А название — гипотеза одинокого бегуна — придумал в 1998 г. Луис Годдин. Положим, что n бегунов бегают по кольцевой дорожке единичной длины с постоянной скоростью, причем скорости всех бегунов различны. Можно ли утверждать, что каждый из бегунов в какой-то момент времени окажется одиноким, т. е. будет находиться на расстоянии более 1/n от остальных? Разумеется, для разных бегунов это будут разные моменты времени. Гипотеза состоит в том, что ответ всегда «да»; на данный момент она доказана для n = 4, 5, 6 и 7.

Трекл — это сеть, размещенная на плоскости таким образом, что каждые два ее ребра имеют ровно одну общую точку (см. рис. 48). Встречаться они могут либо в вершине, либо в точке пересечения, но не то и другое одновременно. Если они пересекаются, то обязательно поперек; это значит, что ни одно из них не может целиком остаться по одну сторону от другого (а это могло бы произойти, если бы они, скажем, соприкасались). Джон Конвей в неопубликованной работе высказал гипотезу о том, что в любой сети такого рода число линий меньше или равно числу точек. В 2011 г. Радослав Фулек и Янош Пач доказали, что любая такая сеть с n точками имеет не более 1,428n линий.

Не существует готовой «замкнутой» формулы для суммы гармонического ряда

Более того, такой формулы, по всей вероятности, не существует. Однако существует прекрасная ее аппроксимация: по мере того как n увеличивается, Hn стремится к logn + γ. Здесь γ — постоянная Эйлера, численно равная примерно 0,5772156649. Эйлер вывел эту формулу в 1734 г., а Лоренцо Маскерони изучал постоянную в 1790 г. Ни тот, ни другой не использовали символ γ.

Постоянная Эйлера — одно из тех странных чисел, которые время от времени возникают в математике (вспомните π и e); у них нет красивого или простого выражения, они то и дело появляются в самых разных местах, но при этом складывается впечатление, что они существуют сами по себе. В главе 3 мы убедились, что и π, и e трансцендентны: они не являются решениями каких-либо алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Они иррациональны: не выражаются точными дробями. Многие математики считают, что постоянная Эйлера трансцендентна, но мы даже не знаем наверняка, иррациональна ли она. Если все же γ = p/q для целых p и q, то q равняется по крайней мере 10242 080.

Постоянная Эйлера важна во многих областях математики — от римановой дзета-функции до квантовой теории поля. Она появляется во многих ситуациях и в многочисленных формулах. Поэтому просто возмутительно, что мы не можем решить, рациональна ли она!

В главе 7 мы видели, что одни алгебраические числовые поля имеют единственное разложение на простые множители, а другие — нет. Лучше всего изучены квадратичные алгебраические числовые поля, полученные путем извлечения квадратного корня из некоего числа d, которое не является полным квадратом, более того, не имеет делителей — полных квадратов. Соответствующее кольцо алгебраических целых чисел, состоящее из всех чисел вида a+b√d, где a и b — целые числа, если d не имеет вид 4k + 1, и либо целые, либо нечетные целые, деленные на 2, если d имеет такой вид.

Если d отрицательно, то мы знаем, что разложение на простые множители является единственным ровно для девяти чисел: −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 и −163. Доказательство единственности в этих случаях относительно понятно, но вот поиск других таких чисел очень сложен. В 1934 г. Ганс Хайльбронн и Эдвард Линфут показали, что к этому списку можно добавить не более одного отрицательного целого числа. Курт Хегнер в 1952 г. предложил доказательство полноты списка, но считалось, что в этом доказательстве есть пробел. В 1967 г. Гарольд Старк нашел полное доказательство, заметив при этом, что оно незначительно отличается от доказательства Хегнера, т. е. что пробел не имел значения. Примерно в то же время Алан Бейкер нашел еще одно доказательство.

Случай, когда d положительно, совсем не такой. Разложение на простые множители единственно для гораздо большего числа значений d. Только до 50 это 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47. Компьютерные расчеты позволяют получить еще много значений. Насколько нам известно, может существовать бесконечно много положительных значений d, соответствующее которым квадратичное числовое поле однозначно раскладывается на простые множители. Эвристический анализ, проведенный Коэном и Ленстрой, позволяет предположить, что примерно три четверти всех положительных d, по идее, должны определять числовые поля с однозначными разложениями. Проблема в том, чтобы доказать, что эти наблюдения верны.

Годы идут, и становится все более очевидным, что традиционные методы математического моделирования уже не справляются с задачами, которые ставит перед собой человечество: моделированием глобальной финансовой системы, динамики экосистем, роли генов в росте и развитии живых организмов. Во многие из этих систем входит гигантское количество действующих «лиц» — людей, компаний, организмов, генов, взаимодействующих между собой. Нередко эти взаимодействия можно смоделировать при помощи достаточно простых правил. В последние 30 лет получил развитие новый тип модели, который пытается разобраться с поведением подобных систем, что называется, «в лоб». К примеру, чтобы понять, как 100 000 человек будут вести себя на стадионе, мы не станем усреднять их и превращать в своего рода человеческую жидкость, течение которой затем следует рассматривать. Нет, мы строим компьютерную модель из 100 000 отдельных модулей, накладываем на них подходящие ограничения, устанавливаем правила и запускаем процесс моделирования, чтобы посмотреть, что будет делать эта компьютерная толпа. Такого рода модели в математике называют сложными системами.