Так что может показаться, что математика обладает собственным сознанием, даже если на самом деле она создается коллективной интеллектуальной деятельностью людей. История учит нас, что математическое сознание — в этом смысле — более изобретательно и удивительно, чем можно себе представить. Все это лишь подходы к моему главному утверждению: единственное, что можно с уверенностью предсказать в математике, это ее непредсказуемость. Важнейшие математические вопросы начавшегося столетия возникнут как естественные, иногда даже неизбежные, следствия накопления наших знаний о нынешних великих задачах математики. Однако почти наверняка это будут вопросы, которые никто сегодня не может даже вообразить. Это верно и правильно, и нам нужно этому радоваться.

Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах.

Чтобы дать вам некоторое представление о том, чего мы не знаем в настоящий момент (помимо тех проблем, о которых мы уже говорили), я приведу 12 нерешенных задач, которые уже некоторое время ставят в тупик математиков всего мира. Я выбрал их таким образом, чтобы несложно было понять суть вопроса. Мы уже видели, что простота формулировок ничего не говорит о том, насколько легким или сложным может быть доказательство. Некоторые из этих проблем еще могут обернуться великими: это будет зависеть в основном не от ответа на вопрос, а от того, какие методы будут придуманы и применены для их решения и к чему соответствующие исследования в конце концов приведут.

Для любого целого числа n факториал n! равен произведению

Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить

26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000

разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что

представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует.

Число является совершенным, если оно равно сумме всех его собственных делителей (т. е. чисел, на которые оно делится без остатка, включая единицу, но исключая само число). Примеры таких чисел:

Евклид доказал, что если число 2n − 1 простое, то число 2n−1(2n − 1) совершенно. Приведенные выше примеры соответствуют n = 2, 3. Простые числа такого вида называются простыми Мерсенна, их известно 47 штук, и самое большое из них 243 112 609 − 1 (кроме того, это самое большое известное простое число). Эйлер доказал, что все четные совершенные числа должны иметь такой вид, но никому еще не удалось отыскать хотя бы одно нечетное совершенное число или доказать, что их не существует. Померанс предложил нестрогое рассуждение, которое вроде бы указывает, что таких чисел действительно нет. Любое нечетное совершенное число должно удовлетворять нескольким жестким условиям. По величине оно должно быть не меньше 10300, должно иметь простой делитель больше чем 108, его второй по величине простой делитель должен быть по крайней мере 104; кроме того, у него должно быть по крайней мере 75 простых делителей и по крайней мере 12 различных простых делителей.

Возьмем целое число. Если оно четное, разделим на 2. Если нечетное, домножим на 3 и прибавим 1. Повторим эту операцию бесконечное число раз. Что произойдет?

К примеру, можно начать с числа 12. Получим следующую последовательность:

после чего последовательность 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 будет повторяться бесконечно. Гипотеза Коллатца утверждает, что конечный результат будет одним и тем же, с какого бы числа мы ни начали. Гипотеза названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее в 1937 г., но имеет и множество других названий: гипотеза 3n + 1, гипотеза градины, гипотеза Улама, проблема Какутани, гипотеза Туэйтса, алгоритм Хассе или сиракузская проблема.

Что делает эту задачу такой сложной, так это то, что нередко числа буквально взрываются. Так, если начать с 27, последовательность поднимется до 9232, но при этом все равно через 111 шагов сойдется к 1. Компьютерное моделирование подтверждает гипотезу для всех первоначальных чисел вплоть до 5,764 × 1018. Доказано, что не существует циклов, за исключением 4 → 2 → 1, в которых было бы меньше 35 400 шагов. Возможность того, что некоторое начальное число дает последовательность, содержащую все более крупные числа, разделенные более мелкими, не исключена. Илья Красиков и Джеффри Лагариас доказали, что для начальных величин вплоть до n по крайней мере n0,84 из них со временем сходится к 1. Так что исключения, если они существуют, встречаются редко.

Здесь в качестве начального пункта берется существование пифагоровых троек и формула для них, а затем вся проблема переводится в третье измерение. Эйлеров параллелепипед — это кубоид (блок в форме кирпича) с целыми ребрами, все грани которого имеют целые диагонали. Самый маленький параллелепипед Эйлера открыл в 1719 г. Пауль Хальке. Его ребра составляют 240, 117 и 4; диагонали граней равны 267, 244 и 125. Эйлер нашел формулы для таких прямоугольных параллелепипедов, аналогичные формуле для пифагоровых троек, но они выдают не все возможные решения.