В период между Первой и Второй мировыми войнами математики из Львова (тогда Польша) регулярно встречались в Шотландском кафе и обсуждали там такие математические «лакомства», как теорема о блинах[158]. Один из членов группы Гуго Штейнгауз как-то задал вопрос о том, можно ли расширить эту теорему на три измерения. «Можем ли мы положить кусок окорока под нож мясорезки так, чтобы мясо, жир и кости были разрезаны ровно пополам?» — спросил он. Его друг Стефан Банах доказал, что это возможно, воспользовавшись теоремой, названной именами двух других участников группы — Станислава Улама и Кароля Барсука. Впоследствии вывод Банаха получил известность под названием «теорема о бутерброде с ветчиной», поскольку он эквивалентен утверждению о том, что можно разрезать бутерброд с ветчиной поровну одним движением ножа таким образом, что каждый слой хлеба и ветчины будет разделен поровну независимо от их исходного положения и формы.

Математики, которые собирались в Шотландском кафе, записывали в толстую тетрадь все обсуждаемые во время встреч вопросы, а когда уходили домой, отдавали ее на хранение метрдотелю. Эта тетрадь, впоследствии получившая название «Шотландская книга», представляет собой уникальный продукт совместной работы, и не только из-за того, как она написана. (Эта тетрадь так и не была издана в виде книги, но некоторые из записанных в ней задач были опубликованы впоследствии в журналах.) Штейнгауз, Банах и Улам были выдающимися математиками, образовавшими самую талантливую троицу ученых, когда-либо существовавшую где бы то ни было. В 1941 году, через несколько дней после того, как Штейнгауз записал в этой тетради, как оказалось, последнюю задачу, немецкие войска оккупировали Львов. Штейнгауз, который был евреем, скрылся и пережил войну в небольшом городке возле Кракова под именем умершего лесника. В эти годы он восстановил по памяти большинство известных ему математических задач и работал над новыми, в том числе и еще над одной, связанной с едой.

Штейнгауз хотел найти самый справедливый способ разделить пирог между людьми, когда каждый стремится получить как можно больший кусок. Когда на пирог претендует всего два человека, с давних времен используется следующий подход: один режет, другой выбирает. При таком подходе тот, кто режет пирог, заинтересован разделить его на максимально равные части, поскольку если между двумя частями будет заметная разница, ему достанется меньшая часть. Штейнгауз первым решил задачу о том, как справедливо разделить пирог между тремя людьми. (Описание ее решения можно найти в Приложении 7.) После Штейнгауза математические методы разрезания пирога легли в основу целой области знаний, имеющей практическое применение в экономике и политике. Существует много разных вариантов решения этой задачи, в зависимости от того, сколько людей принимает участие в дележе пирога и как они оценивают его разные фрагменты. Один оригинальный способ, найденный в 1960-х годах, подразумевает использование движущегося ножа. Нож размещается рядом с пирогом, а затем медленно передвигается над ним. Когда кто-то выкрикнет «Стоп!», нож разрезает пирог в этом положении, а отрезанный кусок получает тот, кто первым крикнул «Стоп!». Затем нож продолжает движение, отрезая куски оставшимся претендентам.

Гуго Штейнгауза помнят за две самые распространенные пищевые метафоры в математике: теорему о бутерброде с ветчиной и справедливое разрезание пирога. Он постоянно думал о еде. К сожалению, именно еды ему не хватало на протяжении всей жизни.

Один из самых распространенных методов доказательства — доказательство от противного, когда истинность утверждения подкрепляется доводами, что в случае, если оно ложное, это приводит к противоречию. Например:

Теорема. Все числа интересны[159].

Доказательство. Предположим, это утверждение ошибочно, а значит, есть очень скучные числа. Если бы это действительно было так, существовало бы самое малое скучное число. Однако сам факт наличия такого числа делает его интересным. Другими словами, термин «самое малое скучное число» противоречит сам себе. В этом и состоит несоответствие. Это утверждение не может быть ложным, стало быть, оно должно быть истинным.

Древнегреческий мыслитель Аристотель одним из первых изучил сущность доказательства. Он разработал систему логических рассуждений, призванную определить, приводят ли истинные предпосылки к истинным выводам. Аристотель занимался философией, но все же идея о том, что истина переходит от предпосылок к выводам посредством логической дедукции, оказала значительное влияние на математику. В действительности, начиная со времен Древней Греции, математика изучает именно то, как истинные предпосылки приводят к истинным выводам через доказательства.

В III столетии до нашей эры Евклид написал «Начала», основополагающий трактат по геометрии, отличающийся характерным литературным стилем и построенный в соответствии с принципиально новой концептуальной схемой. Евклид начал с небольшого набора предполагаемых истин, или аксиом, и вывел из них все остальные истины, или теоремы. Его способ систематизации знаний обозначается термином «аксиоматический метод».

Для начинающих геометров трактат «Начала» был своего рода кулинарной книгой. В нем указан список ингредиентов: определения 26 терминов и 10 предположений, которые разрешается считать истинными, — например, о том, что между двумя точками можно провести прямую линию. Затем Евклид рассказывает о блюдах, которые намерен приготовить (теоремы), и приводит пошаговые инструкции относительно того, как это сделать (доказательства). Первая теорема касается построения «равностороннего треугольника на заданной конечной прямой», вторая — «как от данной точки провести прямую, равную данной прямой». В каждом доказательстве Евклид использует только перечисленные в начале книги предположения, и каждый очередной шаг логически вытекает из предыдущего. Метод, сводящийся к формулировке исходных предположений, после которой следует постепенное построение знаний посредством теорем и доказательств, стал стандартной схемой для всех последующих математических трудов.

В одной из самых известных теорем, изложенных в трактате «Начала», используется доказательство от противного.

Теорема. Существует бесконечно много простых чисел.

Доказательство. Во-первых, обратите внимание на следующее. Доказательство нельзя читать так же бегло, как прозу. Вполне нормально, если понадобится его перечитать несколько раз, прежде чем оно станет понятным. Во-вторых, давайте разберемся, что именно пытается сделать Евклид. Простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13 …) — это числа, которые больше единицы и делятся только на себя и 1. Евклид покажет нам, что, если эта теорема ошибочна, мы получим противоречие. Точнее говоря, он докажет, что при существовании конечного количества простых чисел можно создать еще одно простое число, что противоречит утверждению о том, что количество таких чисел конечно. Эта теорема не может быть ошибочной, значит, она должна быть верной.