Предлагаю вам решить головоломку. Однажды я поднялся на гору, переночевал на вершине, а на следующий день спустился вниз по тому же маршруту. Есть ли такая точка, в которой я был в одно и то же время в разные дни?

Подумайте об этом секунду.

Или две.

Ответ: да. Представьте себе, что оба путешествия происходят в один день. Если я одновременно поднимаюсь вверх и спускаюсь вниз, неизбежно наступит момент, когда я столкнусь с самим собой, и тогда значения времени и высоты совпадут.

Если вы примете аргумент о том, что в оба дня должен быть момент времени, когда я находился на одной высоте, я доволен: мое доказательство сделало свое дело. Математическое доказательство — это всего лишь инструмент, используемый одним человеком для того, чтобы убедить другого человека в истинности математического утверждения — а я вас убедил[156]

Однако более требовательного математика могут не удовлетворить мои доводы. Он может отбросить их по причине недостаточной строгости. Где доказательство того, что я столкнусь сам с собой? Давайте нарисуем график, отображающий мое восхождение от подножия горы на высоте А к ее вершине на высоте В, а также наложим на него маршрут моего спуска на следующий день, как показано на рисунке ниже. Теперь вопрос стоит по-другому: существует ли точка, в которой эти две линии пересекутся? Большинство читателей ответят: конечно же, есть! Но придирчивого математика мне так и не удалось убедить.

До конца XVIII века считалось, что если кривая поднимается от высоты А до высоты В, то она обязательно должна пройти каждую точку между А и В. На интуитивном уровне это утверждение кажется очевидным. В действительности оно согласуется с тем, как определялась тогда непрерывная кривая. Однако, когда математики внимательнее проанализировали свойства непрерывности, они пришли к выводу о необходимости более четких определений. Утверждения, которые воспринимались раньше как нечто само собой разумеющееся, были переведены в категорию теорем, требующих доказательства на основании еще большего количества исходных предположений. К их числу относилось и приведенное выше утверждение о том, что непрерывная кривая с минимальным значением А и максимальным значением В обязательно должна пройти все промежуточные значения; сейчас оно известно как теорема о промежуточном значении. Но ее доказательство настолько сложное, что его изучают только в университетах, хотя его будет достаточно, чтобы убедить нашего дотошного друга. В итоге он согласится с тем, что две кривые на представленном выше графике пересекаются в определенной точке, поскольку это утверждение вытекает из доказательства за несколько шагов.

Маршрут восхождения на вершину горы и спуска к ее подножию

Эксперименты — движущая сила науки. Доказательства — движущая сила математики. Существует множество способов проведения экспериментов, так же как и множество методов доказательств математических утверждений. В этой главе мы рассмотрим некоторые из них. Кроме того, проанализируем, как изменилось отношение к доказательствам, и пообщаемся с анонимным членом тайного общества, исповедующего математическую строгость. Но сначала давайте перекусим.

Теорема о промежуточном значении может показаться очевидной, но у нее есть ряд интересных следствий. Одно из них — теорема о блинах, которую я предпочитаю описывать в менее сладких выражениях. Если вы рассыплете на столе соль (или подадите блины), мы можем доказать наличие прямой, которая делит соль (или блинчик) на две части равной площади, причем прямая может быть проведена под каким угодно углом[157]. Метод, с помощью которого это делается, представлен на рисунке ниже. Сначала нарисуйте за пределами пятна соли прямую под любым углом и назовите ее Х, а затем перемещайте ее в направлении соли, параллельно к исходному положению. Прямая пересечет пятно соли в точке А, когда она еще не покрывает площадь пятна, и оставит соль позади в точке В, когда все пятно пройдено. Пересеченная площадь пятна соли меняется непрерывно по мере того, как прямая проходит это пятно, перемещаясь из точки А в точку В. Согласно теореме промежуточного значения, эта прямая обязательно попадет в позицию, в которой пройденная площадь составляет ровно половину общей площади. Наше доказательство не указывает, где именно проходит линия раздела, а только говорит о том, что она однозначно существует.

Теорема о соли

А теперь давайте рассыплем на столе соль и перец. Здесь мы тоже можем доказать наличие прямой, разделяющей их на две части равной площади. Начнем с определения прямой Х, которая делит пополам пятно соли и не касается перца, как показано на рисунке ниже. Затем повернем прямую по часовой стрелке, не забывая следить за тем, чтобы она постоянно разбивала пятно соли на две равные части. Мы знаем, что это можно сделать, поскольку, как было показано выше, деление пятна соли пополам происходит под любым углом. Наша прямая касается пятна перца в точке А и выходит за его пределы в точке В. Покрытая площадь пятна перца увеличивается непрерывно от ноля до максимума, а значит, прямая обязательно пройдет ту точку, в которой она тоже делит пятно перца на две равные части. На рисунке пятна соли и перца расположены отдельно, но, даже если бы они пересекались, всегда найдется прямая, которая разделит их на две части равной площади.

Теорема о соли и перце