В этом выражении можно раскрыть скобки:

И свести к такому уравнению:

Что равно:

2x + o

Когда точка Q приближается к точке Р на бесконечно малое расстояние, значение о становится бесконечно малым, а значит, градиент — бесконечно близким к 2x. Ньютон утверждал, что мы можем позволить точке Q совпасть с точкой Р и что, когда это действительно произойдет, мы можем отбросить бесконечно малое значение о и с уверенностью заявить, что градиент в точке Р равен 2x. Как только бесконечно малая величина выполнит свою работу, она может уйти со сцены.

Другими словами, градиент кривой y = x2 в точке с координатой х на горизонтали равен 2x.

Если вся эта алгебра показалась вам слишком сложной, вы все равно можете оценить значимость достижений Ньютона. Он выделил самое важное свойство кривой (ее градиент) и вывел формулу 2x, позволяющую вычислять градиент в любой точке кривой. Обозначив градиент символом y´, мы можем записать новое уравнение: y´ = 2x, которое еще известно как производная исходной кривой.

Верхний левый график на представленном ниже рисунке — это кривая y = x2, а непосредственно под ним — ее градиент, y´ = 2x, являющийся прямой линией. Когда x равен 1, кривая имеет значение 1, а градиент равен 2. Когда x равен 2, кривая имеет значение 4 и градиент равен 4. Эта кривая повышается в форме параболы, а градиент — в форме прямой линии. А теперь забудьте о геометрии и подумайте о математике. Оба графика описывают поведение движущегося объекта. Если исходная кривая отображает положение объекта во времени, то производная — мгновенное значение скорости. Эти графики показывают, что за 1 единицу времени объект проходит 1 единицу расстояния, а его скорость — 2. За 2 единицы времени объект проходит 4 единицы расстояния, а его скорость равна 4 и т. д. По сути, верхняя кривая моделирует позицию объекта в момент его падения под воздействием силы тяжести: пройденное расстояние пропорционально квадрату истекшего времени. Воспользовавшись методом исчисления, Ньютон показал, что мгновенное значение скорости падающего объекта увеличивается по линейному закону.

Градиент параболы, изображенной на верхнем левом рисунке, — прямая линия, а градиент кривой А — кривая В

Я выбрал кривую y = x2, потому что ее производная вычисляется достаточно просто, но метод Ньютона применим ко всем гладким кривым при условии наличия уравнения, описывающего соответствующую кривую. На верхнем рисунке справа показана еще одна кривая, а ниже — кривая ее градиента, или производной. Но здесь я опустил уравнения этих кривых и просто назвал их А и В — мне хотелось бы, чтобы вы прочувствовали всю красоту данной трансформации. Градиент кривой А в каждой ее точке изображен на нижнем графике в виде кривой В. Давайте совершим путешествие по кривой А слева направо. Эта кривая повышается, достигает вершины, опускается, доходит до нижней точки, а затем снова поднимается. Другими словами, градиент имеет положительное значение, достигает нуля в тот момент, когда кривая на мгновение становится горизонтальной, затем принимает отрицательное значение, повышается до нуля и снова становится положительным. Но ведь именно это и происходит с кривой В! Сначала она проходит в области положительных значений, затем пересекает горизонтальную ось, переходит в область отрицательных значений, а потом снова врывается в положительную плоскость. (Пунктирные вертикальные линии показывают соответствие между важными точками верхней кривой и нулевыми значениями градиента.) Когда я впервые увидел такую кривую вместе с кривой градиента, я был поражен. Мне казалось настоящим волшебством то, что изменение величины, заданное одной кривой, идеально отображается другой кривой.

Концепция бесконечно малых величин позволила разработать метод определения градиентов, а также найти способ вычисления площадей. Мы уже видели, как Архимед рассчитывал площадь, ограниченную параболой и прямой, суммируя площадь треугольников все меньшего размера, а также как математики эпохи Возрождения усовершенствовали эту методику, разделив площадь на бесконечно малые сегменты. Метод флюксий Ньютона делает возможным определение площади под кривой посредством разделения этой площади на бесконечное количество бесконечно малых вертикальных полос.

Например, зная уравнение кривой С, изображенной на рисунке ниже, с помощью исчисления мы можем вывести уравнение заштрихованной области А между началом координат и точкой х на горизонтальной оси.

Следовательно, при наличии той или иной кривой исчисление предоставляет нам две возможности: вывести уравнение ее градиента или уравнение площади под ней. Но вот что интересно: эти две процедуры носят взаимно обратный характер! Градиент и площадь — это, по сути, одно и то же явление, рассматриваемое под разными углами. Такой поворот сюжета достоин мультсериала «Скуби-Ду»: в последнем акте этой математической драмы оказывается, что два разных персонажа на самом деле представляют собой один и тот же объект. Этот результат, получивший название «основная теорема исчисления», стал одним из самых неожиданных открытий XVII столетия.

Если не вдаваться в детали, эта теорема гласит, что если площадь под кривой С равна А, то градиент кривой А равен С. Чтобы было понятнее, вспомните о том, что кривые, площади и градиенты записываются в виде уравнений. С — это кривая, которая также имеет свое уравнение. С помощью исчисления мы можем вывести уравнение А для площади, лежащей под этой кривой. Основная теорема исчисления гласит, что производная (или градиент) уравнения А равна С.

Давайте посмотрим, как это работает, когда С — это прямая y = 2x, представленная на рисунке ниже. Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту. (Мы могли бы вывести эту формулу с помощью бесконечно малых величин, но нам не нужно этого делать, поскольку она уже известна.) Следовательно, площадь А под линией от 0 до х равна х/2 × 2x, или x2, что дает уравнение площади под линией А = x2. Но это же уравнение описывает и кривую на рисунке справа — параболу. Вспомните размещенный немного выше график, на котором показано, как определение градиента кривой дает возможность перейти от кривой к прямой линии. На рисунках ниже показано, как вычисление площади под кривой позволяет перейти от прямой к параболе. Следовательно, градиент и площадь — это две стороны одной медали.