PageRank — алгоритм, благодаря которому появился Google, — тоже представляет собой марковскую цепь. Идея Ларри Пейджа заключалась в том, что веб-страницы, к которым ведут много ссылок, вероятно, важнее, чем страницы, где их мало, а ссылки с важных страниц должны сами по себе считаться больше. Из-за этого возникает бесконечная регрессия, но и с ней можно справиться с помощью цепи Маркова. Представьте, что человек посещает один сайт за другим, случайно проходя по ссылкам. Состояния в этой цепи Маркова — это не символы, а веб-страницы, что увеличивает масштаб проблемы, однако математика все та же. Суммой баллов страницы тогда будет доля времени, которую человек на ней проводит, либо вероятность, что он окажется на этой странице после долгого блуждания вокруг нее.

Цепи Маркова появляются повсюду, это одна из самых активно изучаемых тем в математике, но это все еще сильно ограниченная разновидность вероятностных моделей. Сделать шаг вперед можно с помощью такой модели:

Состояния, как и ранее, образуют марковскую цепь, но мы их не видим, и надо вывести их из наблюдений. Это называется скрытой марковской моделью, сокращенно СММ (название немного неоднозначное, потому что скрыта не модель, а состояния). СММ — сердце систем распознавания речи, например Siri. В задачах такого рода скрытые состояния — это написанные слова, наблюдения — это звуки, которые слышит Siri, а цель — определить слова на основе звуков. В модели есть два элемента: вероятность следующего слова при известном текущем, как в цепи Маркова, и вероятность услышать различные звуки, когда произносят слово. (Как именно сделать такой вывод — интересная проблема, к которой мы обратимся после следующего раздела.)

Кроме Siri, вы используете СММ каждый раз, когда разговариваете по мобильному телефону. Дело в том, что ваши слова передаются по воздуху в виде потока битов, а биты при передаче искажаются. СММ определяет, какими они должны быть (скрытые состояния), на основе полученных данных (наблюдений), и, если испортилось не слишком много битов, у нее обычно все получается.

Скрытая марковская модель — любимый инструмент специалистов по вычислительной биологии. Белок представляет собой последовательность аминокислот, а ДНК — последовательность азотистых оснований. Если мы хотим предсказать, например, в какую трехмерную форму сложится белок, можно считать аминокислоты наблюдениями, а тип складывания в каждой точке — скрытым состоянием. Аналогично можно использовать СММ для определения мест в ДНК, где инициируется транскрипция генов, а также многих других свойств.

Если состояния и наблюдения — не дискретные, а непрерывные переменные, СММ превращается в так называемый фильтр Калмана[88]. Экономисты используют эти фильтры, чтобы убрать шум из временных рядов таких величин, как внутренний валовой продукт (ВВП), инфляция и безработица. «Истинные» значения ВВП — это скрытые состояния. На каждом временном отрезке истинное значение должно быть схоже и с наблюдаемым, и с предыдущим истинным значением, поскольку в экономике резкие скачки встречаются нечасто. Фильтр Калмана находит компромисс между этими условиями и позволяет получить более гладкую, но соответствующую наблюдениям кривую. Кроме того, фильтры Калмана не дают ракетам сбиться с курса, и без них человек не побывал бы на Луне.

Скрытые марковские модели хорошо подходят для моделирования последовательностей всех видов, но им все еще очень далеко до гибкости символистских правил типа «если…, то…», где условием может быть все, а вывод может стать условием в любом последующем правиле. Однако если допустить такую произвольную структуру на практике, это приведет к взрывному росту количества вероятностей, которые нам надо определить. Ученые долго не могли справиться с этой квадратурой круга и прибегали к ситуативным схемам, например приписывали правилам оценочную достоверность и кое-как их соединяли. Если из A с достоверностью 0,8 следует B, а из B с достоверностью 0,7 вытекает C, то, наверное, C следует из A с достоверностью 0,8 × 0,7.

Проблема таких схем в том, что они могут приводить к сильным искажениям. Из двух совершенно разумных правил «если ороситель включен, трава будет мокрая» и «если трава мокрая, значит шел дождь» я могу вывести бессмысленное правило «если ороситель включен, значит шел дождь». Еще более коварная проблема заключается в том, что при применении правил с оценками достоверности одни и те же доказательства могут засчитываться дважды. Представьте, что вы читаете в New York Times сообщение о приземлении инопланетян. Не исключено, что это розыгрыш, хотя сегодня не первое апреля. Потом вы видите подобные заголовки в Wall Street Journal, USA Today и Washington Post и начинаете паниковать, как слушатели печально известной передачи Орсона Уэллса, которые приняли радиоспектакль «Война миров» за чистую монету[89]. Если, однако, вы обратите внимание на мелкий шрифт и поймете, что все четыре газеты получили новость от Associated Press, можно снова заподозрить розыгрыш, на этот раз со стороны репортера новостного агентства. Системы правил неспособны справиться с этой проблемой, равно как и наивный байесовский алгоритм: если в качестве предикторов того, что новость правдива, используются такие свойства, как «сообщила New York Times», он может только добавить «сообщило агентство Associated Press», а это лишь испортит дело.

Прорыв был сделан в начале 1980-х годов, когда Джуда Перл, профессор информатики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, изобрел новое представление — байесовские сети. Перл — один из самых заслуженных авторитетов в компьютерных науках, и его методы оставили отпечаток в машинном обучении, искусственном интеллекте и многих других дисциплинах. В 2012 году ему была присуждена премия Тьюринга.

Перл понял, что вполне допустимо иметь сложную сеть зависимостей между случайными переменными при условии, что каждая переменная прямо зависит только от нескольких других. Эти зависимости можно представить в виде графика, аналогичного тому, который мы видели при обсуждении цепей Маркова и СММ, однако теперь он может иметь любую структуру, если только стрелки не образуют замкнутые петли. Один из любимых примеров Перла — охранная сигнализация. Она должна сработать, если в дом пытается влезть грабитель, но может включиться и при землетрясении. (В Лос-Анджелесе, где живет Перл, землетрясения почти так же часты, как кражи со взломом.) Представьте, что вы засиделись на работе и вам позвонил сосед Боб, чтобы предупредить, что у вас сработала сигнализация. Соседка Клэр не звонит. Надо ли звонить в полицию? Вот график зависимостей: