Согласно всемирному закону тяготения Ньютона, сила притяжения F двух тел с массой m1 и m2 прямо пропорциональна произведению их масс m1 x m2 и обратно пропорциональна расстоянию r между двумя центрами масс. Отсюда F = Gm1 х m2/r2, где G — коэффициент пропорциональности, известный как гравитационная постоянная. Значение G было тщательно измерено и составляет приблизительно 6,67 х 10-11 Нм2∙кг-2.

Следовательно, сила притяжения, действующая на небольшое тело массой m вблизи большой сферической планеты массой М, F = GMm/r2, где r — расстояние от m до центра М. Таким образом, сила тяжести g — F/m = GM/r2 на расстоянии r до центра планеты. У поверхности планеты действует сила тяжести gs = GM/R2, где R — радиус планеты. Сила тяжести (сила гравитационного поля) у поверхности Земли различна на разных широтах и варьируется от 9,81 Н∙кг-1 на полюсах до 9,78 Н∙кг-1 на экваторе. Это происходит вследствие вращательного движения Земли и оттого, что экваториальный радиус немного больше полярного.

См. также статьи «Сила и движение», «Траектория брошенного тела».

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ 2 — ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ

Чтобы ракета покинула Землю и смогла долететь до Луны или других планет, она должна развить скорость около 11 км/с. Минимальная скорость, необходимая для преодоления телом силы притяжения другого, более массивного тела, называется параболической. Относительно планет ее еще называют второй космической скоростью, или скоростью ухода. Если двигатели ракеты недостаточно мощные, то она не сможет развить эту скорость и останется на околопланетной орбите или упадет на планету.

Чтобы ракета массой m покинула планету массой М первой, нужна энергия, равная GMm/R, где R — радиус планеты. Ракета должна покинуть гравитационное притяжение планеты благодаря своей кинетической энергии, которая после выработки топлива равна GMm/R. Скорость ухода vyx должна быть такой, чтобы минимум кинетической энергии 1/2 mv2yx также равнялся GMm/R.

Таким образом, скорость ухода от поверхности планеты равна 2GM/R, или 2gsR, поскольку gs, сила тяжести у поверхности планеты, определяется по формуле GM/R2. У поверхности Земли g = 9,80 Н/кг, а R = 6370 км (приблизительно). Отсюда скорость ухода равна (2 х 9,80 х 6370 х 1000) = 11 200 м/с. У поверхности Луны g = 1,62 Н/кг и R = 1740 км, отсюда скорость ухода равна 2380 м/с. Так как параболическая скорость ухода от поверхности Луны значительно меньше, чем та же скорость у поверхности Земли, астронавты с корабля «Аполлон» могли стартовать с Луны с помощью значительно меньших модулей, чем ракета-носитель «Сатурн», которая стартовала с Земли.

У Земли есть атмосфера, у Луны нет. Молекулы газа в атмосфере Земли двигаются со скоростью, меньшей скорости ухода (11,2 км/с), и поэтому они не могут преодолеть силу земного притяжения. Молекулы газа у поверхности Луны имели бы тот же диапазон скоростей, что и молекулы газа у поверхности Земли, так как диапазон температур там приблизительно тот же, что и на Земле. Но они легко покинули бы Луну, так как скорость ухода от поверхности там значительно меньше.

См. также статьи «Гравитационное поле 1», «Энергия и мощность».

ДАВЛЕНИЕ

Давлением называется величина, численно равная силе, направленной перпендикулярно поверхности и действующей на единицу площади. Единицей давления служит паскаль (Па), который равен одному ньютону на квадратный метр (1 Н/м2). Давление — это сила, действующая по нормали к поверхности на ее площадь.

• В покоящейся жидкости на определенной глубине давление направлено во все стороны и одинаково во всех точках, расположенных на ней. С глубиной давление увеличивается в соответствии с формулой

Р = hpg,

где h — расстояние от поверхности (глубина), р — плотность жидкости.

• В покоящемся газе давление на стенки сосуда вызвано быстрым движением бесчисленных молекул, ударяющихся о стенки и отскакивающих от них. Чем выше температура газа в герметичном сосуде, тем больше давление, так как молекулы газа движутся быстрее и ударяют о стенки сосуда более часто и интенсивно. Законы поведения идеального газа можно объяснить с помощью кинетической теории газов. В движущихся жидкостях и газах давление на поверхность, расположенную перпендикулярно направлению течения, выше давления на поверхность, расположенную параллельно течению потока. Давление на поверхность, параллельную течению, называется статическим, так как равно тому давлению, которое оказывала бы на эту точку покоящаяся жидкость. Давление на поверхность, перпендикулярную течению, называется полным. Разность между полным и статическим давлениями составляет динамическое давление.

Атмосферное давление день ото дня различается в зависимости от погодных условий. В среднем на уровне моря оно равно 101 кПа и называется стандартным. С увеличением высоты давление понижается, и в горах, на больших высотах, людям становится трудно дышать. Манометры — приборы, измеряющие давление, — обычно настраивают так, чтобы они измеряли разность давлений газа или жидкости и атмосферного давления.

См. также статьи «Жидкости 1 и 2», «Идеальные газы».

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКОВ

Спутником называется любое тело, совершающее орбитальное движение вокруг более крупного тела. Планеты — это спутники Солнца. Луна — спутник Земли. Искусственные спутники на околоземных орбитах используются для поддержания радиосвязи.

• Периодом обращения спутника, зависящим от высоты, называется время, за которое он совершает полный оборот.

• Геостационарным называется спутник, движущийся по экваториальной орбите на такой высоте и с такой скоростью, что все время остается над одной и той же точкой земной поверхности, т. е. его период обращения равен 24 часам.

Спутник, обращающийся вокруг Земли, удерживается на эллипсообразной орбите под действием силы тяжести. Для кругового движения скорость спутника всегда перпендикулярна действующей на него силе притяжения и вычисляется исходя из того, что сила гравитационного притяжения GMm/r2 равна центростремительной силе mv2/r, где М — масса Земли, m — масса спутника, r — радиус орбиты, v — скорость спутника. Отсюда v2 = GM/r, откуда получаем скорость спутника. Период обращения по круговой орбите Т = 2πr/v, значит

T2 = 4π2r2/v2 = 4π2r2/(GM/r) = 4π2r2/GM

Эта формула согласуется с третьим законом Кеплера, согласно которому для планет Т2 пропорционально r3. При значении Т, равном 24 часам, получаем r = 42 300 км, что соответствует 35 900 км над Землей. Таким образом, высота геостационарной орбиты должна равняться 35 900 км, так как радиус Земли равен 6400 км. Говорят, что геостационарный спутник находится на синхронной орбите.

Он остается над одной и той же точкой экватора, так как движется со скоростью,