— Вижу, — подтвердил Фило. — А во-вторых?

— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно в свою очередь представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.

1 = 1 (1 слагаемое)

3 = 3 (1 слагаемое)

10 = 3 + 7 (2 слагаемых)

29 = 3 + 7 + 19 (3 слагаемых)

81 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 (5 слагаемых)

220 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 71 (8 слагаемых)

589 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 (13 слагаемых)

1563 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 131 + 137 + 173 (21 слагаемое)

— Чуете? — спросил Мате, закончив таблицу. — Количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.

— Но это же замечательное открытие! — бурно обрадовался Фило.

— До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.

— Так найдите общее доказательство.

— Только и всего? Попробуйте-ка сами.

— Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, — отшутился Фило. — К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.

— Наоборот! Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она буквально нафарширована непредвиденными находками, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко ставлю этот удивительный числовой ряд. А теперь…

Он сунул руку в карман, позвякал медяшками и без всякого видимого перехода предложил отгадать, сколько там монет.

Фило надулся: факир он, что ли?

— Ладно! — смилостивился Мате. — Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам наводящие данные. Здесь у меня трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.

— Так бы сразу и сказали. Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет — через y. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5x, а трехкопеечных — на Зу. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5x + 3y = 49.

— Ставлю вам пять с плюсом, — сказал Мате. — Уравнение отличное. Но как вы его решите?

Фило призадумался. Попробуйте-ка решить уравнение с двумя неизвестными!

— Не беда, — утешил Мате. — Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте подберем эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: x = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 × 1 +3y = 49. Отсюда Зу = 44/3.

— Простите, 44/3 не целое число…

— Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 × 2 + 3y = 49. Отсюда 3y = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.

— Браво! — ликовал Фило. — Задача решена.

— Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?

— Сейчас узнаем. 5 × 5 + 3y = 49. Отсюда Зу = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.

— Как видите.

— Поискать, что ли, другие?

Перебрав варианты х = 3, 4, 6 и 7, Фило убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум решениям прибавилось третье. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило хотел уже приравнять икс десяти, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49.

— Итак, — подытожил он, — мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, y = 13; 2) x = 5, у = 8, 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.

Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.

— Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, — разъяснил Мате. — Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.

— Но кому же это нужны уравнения с несколькими ответами?

— Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии. Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.

— И все-таки. Для чего нужны такие уравнения? Где они используются?

— Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства, где мы имеем дело только с целыми числами. Может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?

— Понимаю, — сдался Фило. — Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от темы? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения…

— Это вы называете «ни с того ни с сего»? Да ведь между ними прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений. Гильберт спрашивает, каким способом можно установить после