Воспользуемся десятичным числом

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 …

для того, чтобы показать разницу между понятиями Гильберта, с одной стороны, и понятиями Пуанкаре — с другой. Что означают три точки после невероятно длинной последовательности цифр? Ответ Гильберта был бы таким: «Это десятичное представление числа π. После целочисленной части 3 следует бесконечное множество десятичных разрядов. Я выписал первые тридцать пять цифр, а за ними следует бесконечная последовательность остальных цифр. Естественно, мне не удастся их записать. Но мои аксиомы позволяют мне помыслить, что они даны и существуют. Я мыслю это следующим образом: с помощью моих аксиом можно принципиально решить о каждом утверждении относительно десятичных разрядов числа π, является оно верным или нет».

Пуанкаре был бы куда более осторожным:

«Это десятичное представление числа π. За целочисленной частью 3 следуют 35 десятичных разрядов. Но ими десятичная запись этого числа не исчерпывается. Существуют способы вычисления 350, 3500 и вообще сколь угодно большого числа знаков числа π после запятой. Сколь угодно большое, но всегда конечное! Представление о том, что якобы существуют аксиомы, с помощью которых можно было бы разделить все утверждения относительно десятичных разрядов числа π на истинные и ложные, диаметрально противоречит самой сущности бесконечного».

Гильберт умер в 1943 г., а Пуанкаре скончался в возрасте 58 лет незадолго до начала Первой мировой войны. Это в значительной мере привело к тому, что в Париже в 1920-х гг. математика не пережила того расцвета, какой она пережила в Гёттингене. Кроме того, война скосила множество молодых математических талантов, а немногие молодые французские интеллектуалы, решившие посвятить себя математике, чувствовали себя брошенными на произвол судьбы. Старые университетские профессора были лишены порыва и страсти Пуанкаре; они преподавали математику по солидным, но давно устаревшим учебникам середины XIX в.

Итак, именно поэтому не в Париже, а в Цюрихе и Амстердаме нашлись два математика мирового уровня, которые развили наследие Анри Пуанкаре. В Амстердаме это был Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, который уже в написанной в 1907 г. докторской диссертации «Об основах математики»(16) и в вышедшей в следующем году работе «Ненадежность логических принципов»(17) в весьма самоуверенном тоне подверг сомнению пользу математики, опирающейся исключительно на формальные аксиомы. В Цюрихе это был Герман Вейль, опубликовавший в 1908 г. книгу, где уже в предисловии можно было прочесть следующее: «В этой работе речь идет не о “непоколебимой скале”, на которой зиждется здание математического анализа, не о формализме, обставленном деревянными бутафорскими декорациями и призванном убедить читателей, а прежде всего самих себя в том, что это и есть фундамент. В этой работе я отстаиваю скорее мнение о том, что это здание, в существенной своей части, построено на песке».

«Анализ», исчисление чисел с бесконечным десятичным представлением, которому слепо доверяли Ньютон, Лейбниц и бесчисленное воинство математиков, естествоиспытателей и инженеров, выглядит, считал Вейль, как носящийся по морю без руля и ветрил корабль, который, как следует опасаться, может в любую минуту дать течь. Однако тринадцать лет спустя все стало еще серьезнее.

В начале 1920-х гг., когда только что закончилась Первая мировая война, оставившая в городах и человеческих душах страшные разрушения, когда на повестке дня стояли восстания, мятежи, экономические кризисы и гиперинфляция, Герман Вейль в пощаженной войной Швейцарии написал превосходную статью в блистательном стиле, озаглавленную «О новом кризисе основ математики»(18). В статье он решительно порвал со своим учителем и встал на сторону Пуанкаре.

В математике, полагал Вейль, господствовала «внутренняя неустойчивость основ». Читая статью, читатель во многих местах с удивлением убеждался в том, что Вейль, хотя и писал об основах математики, заимствовал формулировки из сфер экономики и политики тогдашней, сотрясаемой кризисами, эпохи. Когда Вейль, например, говорит о «половине или трех четвертях правды в попытках самообмана, с которыми так часто приходится сталкиваться в политическом и экономическом мышлении», то он явно целится в сторонников неограниченных вычислительных действий с бесконечными величинами. Или, когда он, упоминая их возвышенные формальные теории, утверждает, что «в их свете математика предстает в виде бумажной экономики», несомненно, имея в виду обесцененные бумажные деньги, которыми в то время люди в буквальном смысле топили печи, чтобы согреться. Также когда он один видит в предложениях своего голландского коллеги Брауэра путь к выходу из кризиса основ, о чем весьма патетически пишет (в научной статье и в серьезном математическом журнале): «Брауэр — это революция!»

Антитезой традиции, считал Вейль, стала математика Брауэра. В этой новой математике невозможно обходиться с числами с бесконечным десятичным представлением как с простыми «конечными» числами — даже в том случае, если их рассматривают как «фигуры» в аксиоматических математических «шахматах». Бесконечное — это скорее предельное понятие, которое постоянно ускользает от хватки мышления. Поэтому, как считали Вейль и Брауэр, многие математические теоремы, основанные на наивном взгляде на бесконечное, должны быть отброшены. Точно так же беспочвенными и бессмысленными спекуляциями являются истории о «гостинице Гильберта», за исключением последней из них, где вводятся такие аспекты бесконечного, как «счетные» и «несчетные» множества. Это прозрение Кантора было высоко оценено Брауэром и Вейлем, хотя они понимали его совершенно не так, как сам Георг Кантор.

Уже в 1908 г. Вейль писал, говоря о построенной на песке математике: «Я полагаю возможной замену шатких подпорок надежным фундаментом; однако на этом фундаменте будет зиждиться не все, что сегодня считают неоспоримым и достоверным; от всего остального я отрекаюсь, ибо не вижу никакой другой возможности».

Гильберт пришел в неописуемую ярость. В статье по поводу «Нового обоснования математики» он вначале проявлял некоторую сдержанность: «Уважаемые и заслуженные математики, Вейль и Брауэр, ищут решения проблемы (имеется в виду обоснование математики в целом. – Авт.) на ложном, по моему мнению, пути». Однако уже через две страницы читатель чувствует прорывающийся наружу гнев: Вейль и Брауэр, писал Гильберт, «пытаются обосновать математику таким образом, чтобы выбросить за борт все, что представляется им неудобным, и установить в математической науке диктатуру запретов». После этого следуют гневные слова: «Мы разнесем вдребезги и изувечим нашу науку и столкнемся с опасностью утраты всех наших драгоценных сокровищ, если последуем за подобными реформаторами». В адрес же своего любимого ученика Вейля он отчеканил: «Нет, Брауэр — это не революция, как полагает Вейль, это всего лишь попытка осуществить путч старыми и негодными средствами».