Давид Гильберт был убежден в следующем: так же как мы полагаемся на арифметику целых чисел, мы имеем право допустить, что и вычисление чисел с бесконечным десятичным представлением может быть точным и надежным.

Гильберт разделял это убеждение с Ньютоном и Лейбницем, первооткрывателями «исчисления», которое, как они полагали, можно использовать для операций с числами с бесконечным десятичным представлением, как и для расчетов с целыми числами. Гильберт разделял это убеждение и с теми многочисленными математиками, которые развивали и усовершенствовали «исчисление» Ньютона и Лейбница для разнообразных приложений.

Но Гильберт понимал, что одного лишь убеждения недостаточно. Действительно, существуют своеобразные феномены, когда с бесконечными числами начинают обходиться как с абсолютно безобидным понятием. Но потом, когда в игру вступает бесконечное, логика отказывает.

С чем мы должны считаться, когда бесконечное уживается в мышлении рядом с конечным? Лучше всего для этого оценить диапазон этих понятий на образном примере: представим себе обычную гостиницу, то есть гостиницу с конечным числом номеров. (Для простоты мы примем, что гостиницы, о которых мы будем здесь говорить, предоставляют постояльцам только одноместные номера.) В одной гостинице с конечным числом номеров их можно перечислить в последовательности от 1 до, скажем, 313. После этого номера заканчиваются. В гостинице 313 номеров и ни одного больше. Если в гостинице проживают 313 постояльцев, то она заполнена до отказа. Если в такую гостиницу приходит человек и просит предоставить ему номер для ночлега, администратор не сможет этого сделать, и у того человека нет никаких шансов получить номер.

Совершенно по-другому обстоят дела в «гостинице Гильберта», располагающей бесчисленным количеством номеров. В этой гостинице тоже можно считать номера начиная с 1, но… число номеров в «гостинице Гильберта» никогда не заканчивается. К каждой комнате вдоль бесконечно длинного коридора этой гостиницы примыкает следующая комната. Применив перспективу, которой так виртуозно владели художники Возрождения, мы получим изображение ряда дверей, исчезающих в точке схода перспективы. Изображения дверей будут становиться все меньше и меньше — сначала они станут неразличимы невооруженным глазом, затем неразличимы при взгляде через лупу, а затем и под микроскопом. Но при этом мы знаем: этот ряд не кончается никогда. Может быть, именно перспектива, заставляющая видеть, как уходящие в туманную даль два параллельных рельса железнодорожного пути сходятся в одну точку, породила у некоторых людей иллюзию, что бесконечное можно охватить разумом.

Но, как бы то ни было, «гостиница Гильберта» никогда никому не отказывает, ибо, если все номера в этой гостинице заняты, но к администратору подходит новый гость, его желание будет исполнено — он получит место для ночлега. Администратор распорядится, чтобы каждый постоялец поменял свою комнату на комнату с номером, большим на единицу. Таким образом, постоялец из первого номера переедет во второй, постоялец второго — в третий и так далее. Каждый постоялец гостиницы легко найдет свой новый номер, так как его номер будет всего на единицу больше, чем у старого. Первый же номер освободится для нового постояльца.

Но это лишь начало парадоксов «гостиницы Гильберта». Теперь представим себе, что номера заняты, а перед подъездом гостиницы остановился автобус с бесконечным множеством новых гостей. Вся эта бесчисленная толпа стоит у стойки гостиницы и с нетерпением ждет ключей от вожделенного номера. Но как быть, если все номера уже заняты? Администратор, однако, находит решение: каждый живущий в гостинице постоялец переезжает в комнату, номер которой в два раза больше номера комнаты, в которой он проживает. Таким образом, постоялец из первого номера переезжает во второй номер, постоялец из второго номера — в четвертый, из третьего номера — в шестой и так далее. Каждый постоялец легко находит новую комнату, потому что для того, чтобы ее найти, надо всего лишь умножить на два номер старой комнаты. Таким образом, все постояльцы, уже бывшие в гостинице, переселяются в четные номера, а новоприбывшие занимают бесчисленное множество нечетных номеров.

Но дальше дела идут еще чуднее. Теперь мы допустим, что к гостинице неожиданно подъезжает бесчисленное множество автобусов, останавливающихся на исполинской парковке. В каждом автобусе — ряд за рядом — сидят бесчисленные пассажиры. Всех этих людей, число которых — «бесконечность, помноженная на бесконечность», надо разместить в гостинице, каждого в отдельный номер. И это невзирая на то, что «гостиница Гильберта» забита до отказа. Однако администратор, несомненно, обладает недюжинным математическим талантом и находит удачное решение и в этот раз. Живущих в отеле гостей просят покинуть номера с вещами и собраться в гостиничном ресторане. Пассажиров первого автобуса администратор направляет в комнаты с номерами 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, то есть последовательность номеров представляет собой последовательность степеней числа 2. Пассажиров второго автобуса расселяют по комнатам с номерами 9, 27, 81, 243, …, то есть в комнаты, последовательность номеров которых является последовательностью степеней числа 3. Пассажиров третьего автобуса расселяют в комнаты, номера которых представляют собой последовательность степеней числа 5, то есть номера 5, 25, 125, 625, …. Теперь система становится понятной: пассажиров каждого следующего автобуса расселяют в номера, последовательность которых является последовательностью степеней каждого следующего простого числа. Так как последовательность простых чисел бесконечна, то администратор без проблем размещает в гостинице всех без исключения новоприбывших на бесконечном числе автобусов. При этом такое же бесчисленное множество комнат остается свободными, например комнаты с номерами 1, 6, 10, 12, 14, 15, ….

То есть свободными остались первый номер и все комнаты, номера которых делятся не только на какое-то единственное простое число. В эти свободные номера можно теперь переселить покинувших свои номера после прибытия новичков постояльцев, ожидающих в гостиничном ресторане.

Однако усложним картину и превратим «гостиницу Гильберта» в «отель Гильберта с почасовой оплатой». Представим себе, что ровно в полночь, то есть в ноль часов, к пустому отелю подъезжает автобус с бесчисленным количеством пассажиров. Первый из них входит в отель и получает комнату под номером 1, но ровно через один час он покидает комнату, выходит из отеля и возвращается в автобус. В этот момент, то есть через один час, в отель входят следующие два пассажира и, поскольку первый гость уже покинул отель, получают комнаты под номерами 1 и 2. Они, однако, остаются в отеле ровно полчаса, после чего возвращаются в автобус, а им на смену в отель входят четыре пассажира. Этих четверых селят в комнатах с номерами 1, 2, 3, 4, но в этих комнатах они задерживаются всего на четверть часа. Через один час сорок пять минут после прибытия автобуса эти постояльцы пулей вылетают из отеля, возвращаются в автобус, а им на смену уже бегут восемь следующих пассажиров. Как мы видим, эти непрерывные входы и выходы становятся каждый раз все более захватывающими: каждый временной интервал, в течение которого гости пребывают в номерах, становится вдвое короче временного интервала, в течение которого в номерах пребывала предыдущая «смена», причем навстречу каждой выходящей «смене» спешит другая, численность которой вдвое больше. Что, однако, произойдет ровно в два часа ночи, в тот момент времени, когда временные интервалы станут невероятно сжатыми? Будет ли к этому моменту отель заполнен до отказа, ибо в каждый данный момент в отель входят в два раза больше людей, чем выходят из него? Или, наоборот, отель в этот момент будет пуст, ибо все побывавшие в нем пассажиры автобуса уже покинули отель?