У вас есть 11 м ткани и 20 пуговиц. Рубашка приносит прибыль $2, а сумка — $3. Сколько рубашек и сумок следует изготовить для получения максимальной прибыли?

Здесь мы пытаемся максимизировать прибыль, а ограничения определяют количество имеющихся материалов.

Другой пример: вы политик, пытающийся получить максимальное количество голосов. Исследования показали, что на каждый голос жителя Сан-Франциско требуется примерно час работы (маркетинг, исследования и т.д.), а на каждый голос жителя Чикаго — 1,5 часа. Вам нужны голоса как минимум 500 жителей Сан-Франциско и как минимум 300 жителей Чикаго. В вашем распоряжении 50 дней. Кроме того, затраты на жителя Сан-Франциско составляют $2, а на жителя Чикаго — $1. Ваш бюджет составляет $1500. Какое максимальное количество голосов вы сможете получить (Сан-Франциско+Чикаго)?

На этот раз вы стремитесь к максимуму голосов при ограничениях по времени и деньгам.

Возможно, вы думаете: «В этой книге много говорилось о вопросах оптимизации. Как они связаны с линейным программированием?» Все алгоритмы, работающие с графами, могут быть реализованы средствами линейного программирования. Линейное программирование — намного более общая область, а задачи с графами составляют ее подмножество.

В линейном программировании используется симплекс-метод. Этот алгоритм достаточно сложен, поэтому я не привожу его в книге. Если вы интересуетесь задачами оптимизации, поищите информацию о линейном программировании!

Эпилог

Надеюсь, этот краткий обзор показал, как много вам еще предстоит узнать. Я считаю, что лучший способ узнать что-то — найти тему, которая вас интересует, и изучить ее. Надеюсь, эта книга закладывает достаточно надежную основу для этого.

5 Kalid, «An Interactive Guide to the Fourier Transform,» Better Explained, http://mng.bx/874X.

Ответы к упражнениям

Глава 1

1.1 Имеется отсортированный список из 128 имен, и вы ищете в нем значение методом бинарного поиска. Какое максимальное количество проверок для этого может потребоваться?

Ответ: 7

1.2 Предположим, размер списка увеличился вдвое. Как изменится максимальное количество проверок?

Ответ: 8

1.3 Известна фамилия, нужно найти номер в телефонной книге.

Ответ: O(log n)

1.4 Известен номер, нужно найти фамилию в телефонной книге. (Подсказка: вам придется провести поиск по всей книге!)

Ответ: O(n).

1.5 Нужно прочитать номера всех людей в телефонной книге.

Ответ: O(n).

1.6 Нужно прочитать телефоны всех людей, фамилии которых начинаются с буквы «А». (Вопрос с подвохом! В нем задействованы концепции, которые более подробно рассматриваются в главе 4. Прочитайте ответ — скорее всего, он вас удивит!)

Ответ: O(n). Возможно, кто-то подумает: «Я делаю это только для одной из 26 букв, а значит, время выполнения должно быть равно O(n/26).» Запомните простое правило: в «O-большое» игнорируются числа, задействованные в операциях сложения, вычитания, умножения или деления. Ни одно из следующих значений не является правильной записью «O-большое»: O(n + 26), O(n – 26), O(n * 26), O(n / 26). Все они эквивалентны O(n)! Почему? Если вам интересно, найдите раздел «Снова об “O-большом”» в главе 4 и прочитайте о константах в этой записи (константа — это просто число; в этом вопросе 26 является константой).

Глава 2

2.1 Допустим, вы строите приложение для управления финансами.

Ежедневно вы записываете все свои траты. В конце месяца вы анализируете расходы и вычисляете, сколько денег было потрачено. При работе с данными выполняется множество операций вставки и относительно немного операций чтения. Какую структуру использовать — массив или список?

Ответ: В данном случае траты добавляются в список ежедневно, а чтение всех данных происходит один раз в месяц. Для массивов характерно быстрое чтение и медленная вставка, а для связанных списков — медленное чтение и быстрая вставка. Так как вставка будет выполняться намного чаще, чем чтение, есть смысл воспользоваться связанным списком. Кроме того, чтение в связанных списках происходит медленно только при обращении к случайным элементам списка. Так как читаться будут все элементы списка, связанный список также неплохо справится с чтением. Итак, связанный список станет хорошим решением этой задачи.

2.2 Допустим, вы пишете приложение для приема заказов от посетителей ресторана. Приложение должно хранить список заказов. Официанты добавляют заказы в список, а повара читают заказы из списка и выполняют их. Заказы образуют очередь: официанты добавляют заказы в конец очереди, а повар берет первый заказ из очереди и начинает готовить.

Какую структуру данных вы бы использовали для реализации этой очереди — массив или связанный список? (Подсказка: связанные списки хорошо подходят для вставки/удаления, а массивы — для произвольного доступа к элементам. Что из этого понадобится в данном случае?)

Ответ: Связанный список. Вставка происходит очень часто (официанты добавляют заказы), а связанные списки эффективно выполняют эту операцию. Ни поиск, ни произвольный доступ (сильные стороны массивов) вам не понадобятся, потому что повар всегда извлекает из очереди первый заказ.

2.3 Проведем мысленный эксперимент. Допустим, Facebook хранит список имен пользователей. Когда кто-то пытается зайти на сайт Facebook, система пытается найти имя пользователя. Если имя входит в список имен зарегистрированных пользователей, то вход разрешается. Пользователи приходят на Facebook достаточно часто, поэтому поиск по списку имен пользователей будет выполняться часто. Будем считать, что Facebook использует бинарный поиск для поиска в списке. Бинарному поиску необходим произвольный доступ — алгоритм должен мгновенно обратиться к среднему элементу текущей части списка. Зная это обстоятельство, как бы вы реализовали список пользователей — в виде массива или связанного списка?

Ответ: В виде отсортированного массива. Массивы обеспечивают произвольный доступ — вы можете мгновенно получить элемент из середины массива. Со связанными списками это невозможно.