По словам Сергея Измалкова, аукционы второй цены в реальной жизни встречаются редко. Очень трудно не дрогнуть и отдать товар за 300, когда знаешь, что можно было взять 500! Серьезная логическая ошибка заключается в том, что взять 500 не получилось бы в любом случае. Если человек знает, что с него возьмут по максимуму, он просто не назовет свою правдивую цену. Люди приспосабливаются к правилам. На этом фундаментальном наблюдении основана вся теория дизайна механизмов.

В свое время поисковые системы ощутили эти закономерности на собственном опыте. Поначалу использовались аукционы первой цены. С победителя брали предложенную им же ставку. И это немедленно привело к ужасающей нестабильности. Аукционов разыгрывается множество, поэтому рекламодатели методом проб и ошибок меняли ставки по многу раз в день, чтобы получить лучший результат по минимальной цене. Из-за смены ставок возник жуткий трафик, который захватил ресурсы, необходимые для собственно поиска! И никакой особой выгоды все это не принесло.

Теоретический результат четко говорит о том, что при аукционе первой цены заработать больше не получится. Многие компании снова и снова попадают в эту ловушку. Но поисковые системы при нынешнем масштабе онлайн-рекламы не могут себе этого позволить. Они стремятся к схемам, которые обеспечивают стабильность, поощряют честные ставки и поддерживают доверие.

Онлайн-реклама постоянно улучшается, но вопросов остается много. У рекламы и поиска разные цели. Реклама приносит доход, но может раздражать. Как оценить подобные убытки от рекламы? Как предсказать ее качество? Имеет ли смысл учитывать частную информацию для более целевой рекламы, с риском испугать пользователя, что о нем столько известно? Все это экономические задачи, не решаемые без математических моделей, потому что мы имеем дело с массовыми, сложными и очень взаимосвязанными процессами.

У рекламодателей вопросов не меньше. Средний интернет-магазин предлагает около десяти тысяч товаров. На какие ключевые фразы ставить и сколько? Как предсказать реальные доходы от кликов? Как оценить качество собственного объявления и объявления конкурента? В последнее время в мире появились тысячи маркетинговых компаний, специализирующихся на онлайн-рекламе.

Большая часть онлайн-маркетинга пока основывается на опыте и здравом смысле. Например, если у вас маленький магазин спортивной обуви, бесполезно ставить на слово «Найк», лучше поставить на «синие женские кроссовки “Найк”». Но некоторые компании уже разрабатывают и используют компьютерные программы для автоматического подсчета оптимальных ставок – например, исходя из предыдущих ставок и продаж. При растущем размахе электронной торговли у нас есть все основания полагать, что будущее – именно за автоматическими методами и математическими моделями. По ту и другую сторону онлайн-рекламы работы для математиков – непочатый край.

Приложение для подготовленного читателя к главе 8

В Европе компании часто обращаются к математикам по самым разным вопросам: оптимизация, планирование, прогноз, анализ данных. Очень приятно видеть свои результаты внедренными на практике. И все-таки для нас, математиков, главная мотивация не в этом. Мы любим теорию. Мы любим найти новую интересную теорему, долго и мучительно к ней подступать и отступать, пока вдруг не возникнет полная ясность. Невозможно передать всю радость и удовлетворение от безупречной точности математических выкладок и от короткой записи «ч. т. д.» – что и требовалось доказать. Именно ради этого ощущения мы и работаем – больше, чем ради чего-либо другого. Как сказал один наш молодой коллега: «Мы все подсажены на “эврику”».

Противоречит ли это работе над приложениями? Конечно нет! Наоборот, в нашей книге много примеров, показывающих, что приложения стали источником новых математических теорий. Так, в главе 2 мы рассказывали о линейном программировании и его применении для составления расписаний. Основатель линейного программирования, замечательный советский математик Леонид Витальевич Канторович заинтересовался этими задачами именно благодаря их ценности для практики. Другой пример – теория массового обслуживания, которая возникла из практической задачи анализа телефонной станции и нашла применение во многих системах, где есть заявки, очереди и обслуживающий прибор. Будь то супермаркет, поликлиника, кол-центр или веб-сервер, посылающий вам нужную веб-страничку через интернет. О задаче балансировки нагрузки на веб-сервере мы говорили в главе 5.

Конечно, далеко не вся наука основана на приложениях. Фундаментальная наука зачастую движима исключительно любопытством ученых. Согласно источникам{32}, таким ученым был Нильс Бор. Одного упоминания этого имени достаточно, чтобы понять, как важно доверять ученым в выборе собственных интересов. В главе 6 мы рассказали о том, как любимая игра ума математиков – теория чисел – сегодня стала совершенно необходимой для шифрования конфиденциальных данных, которые мы ежедневно передаем по каналам интернета.

Математика полна нерешенных, чисто теоретических задач. Например, в комбинаторике есть задача нахождения так называемого хроматического числа. Допустим, нам нужно раскрасить плоскость так, чтобы любые две точки, находящиеся на расстоянии ровно 1 метра друг от друга, были разного цвета. Вопрос: какое минимальное количество красок понадобится? Точный ответ неизвестен. Мы знаем только то, что это число между 4 и 7. Если нам нужно раскрасить трехмерное пространство, то минимальное число красок лежит между 6 и 15, а для четырехмерного пространства – между 9 и 54. В принципе непонятно, зачем красить пространство, тем более четырехмерное! Но задачи нахождения хроматических чисел привели к мощному развитию комбинаторики, в том числе и прикладной. Хроматические числа используются, например, для расстановки вышек мобильной связи.

В нашей книге мы рассказали лишь об очень маленькой доле того огромного влияния, которое оказывает математика на жизнь каждого из нас. Мы выбрали всего несколько тем, имеющих отношение к компьютерным технологиям и нашим собственным исследованиям, и надеемся, что даже с помощью этой небольшой выборки смогли убедить вас, что современные технологии невозможны без математики, такой красивой, такой точной и такой невероятно полезной науки. Что и требовалось доказать.

Отметим, что в выражении стоимости 1020 − 2 × АЮ − 5 × БЮ в нашем примере оптимальные значения АЮ и БЮ не зависят от слагаемого 1020. Решение будет то же, если мы будем минимизировать −2 × АЮ − 5 × БЮ или максимизировать 2 × АЮ + 5 × БЮ.