Логарифмическая функция — самая простая вещь на свете: она всего лишь отменяет показательную функцию. Если у нас есть какое-то число, которое может быть выражено в форме 10x, а это возможно для любого положительного числа, то логарифм этого числа равен просто.[313]

Что может быть проще? Точно так же возведение в степень отменяет логарифм:

Можно также думать об этом так: если число представляет собой целую степень десяти (например, 10, 100, 1 000 и т. п.), то логарифм — это просто-напросто число нулей справа от единицы:

Рис. П2. Логарифмическая функция lg(x). Она не определена для отрицательных значений x, и по мере приближения x к нулю справа значение логарифма стремится к минус бесконечности.

Однако так же как и показательная функция, логарифм — это гладкая функция, как показано на рис. П2. Логарифм числа 2,5 равен 0,3979, логарифм 25 равен примерно 1,3979, логарифм 250 — примерно 2,3979 и т. д. Единственное ограничение заключается в том, что невозможно взять логарифм от отрицательного числа, и это разумно, так как логарифм отменяет показательную функцию, а получить отрицательное число в результате операции возведения в степень невозможно. Грубо говоря, для больших чисел логарифм — это просто «количество цифр в числе».

Логарифм демонстрирует свойство, аналогичное тому, с которым мы уже познакомились выше для возведения в степень (результат возведения в степень, равную сумме чисел, равен произведению соответствующих степеней): логарифм произведения равен сумме логарифмов, то есть

Это чудесное свойство делает логарифмы невероятно полезными для изучения энтропии. Как мы обсуждали в главе 8, физическое свойство энтропии заключается в том, что энтропия двух систем после объединения равна сумме энтропий этих систем по отдельности. Но число возможных состояний объединенной системы равно произведению количеств возможных состояний двух систем. Поэтому Больцман сделал вывод о том, что энтропия должна быть равна логарифму числа состояний, а не самому числу состояний. В главе 9 мы рассказали схожую историю, но уже для информации: Шэннон хотел найти меру информации, для которой общая информация, переданная в двух независимых сообщениях, была бы равна сумме количеств информации в каждом из сообщений, и он также прибегнул к помощи логарифма.

Проще говоря, логарифмы обладают таким милым свойством, что они берут огромные числа и стачивают их до управляемых размеров. Беря логарифм от такого тяжеловесного числа, как миллиард, мы получаем симпатичную девятку. Логарифм — функция монотонная, то есть его значение всегда увеличивается по мере увеличения значения, от которого берется логарифм. Таким образом, логарифм предоставляет специфическую меру того, насколько число велико, но при этом сжимает громадные числа до разумных размеров, что чрезвычайно полезно в таких областях, как космология, статистическая механика и даже экономика.

В заключение необходимо отметить, что, так же как и степенная функция, логарифмы могут браться по разным основаниям. «Логарифм по основанию b» числа x — это степень, в которую необходимо возвести b, для того чтобы получить x:

и т. д. Если мы не записываем основание явно, то подразумевается, что оно равно 10, потому что именно таким количеством пальцев обладает большинство людей. Однако ученые и математики частенько используют нечто странное, а именно натуральный логарифм, который часто записывается как ln(x) и основанием в котором служит число Эйлера:

Число Эйлера — это иррациональное число, как π или квадратный корень из двух, так что в десятичной записи, которая частично показана выше, оно продолжается бесконечно. На первый взгляд кажется, что использовать нечто подобное в качестве основания логарифма невероятно странно. Но в действительности если углубиться в математику, то выяснится, что число e обладает множеством приятных свойств: в математическом анализе, например, функция ex — единственная (за исключением вырожденной функции, всегда равной нулю), которая равна своей производной, а также интегралу от себя самой. В этой книге все наши логарифмы брались по основанию 10 и обозначались lg, но если вы решите взяться за физику и математику на высшем уровне, то будете постоянно встречаться с натуральными логарифмами.

Для того чтобы выпестовать книгу — от концепции до публикации, необходимо приложить большие коллективные усилия, и я должен поблагодарить множество людей, которые помогали мне на этом пути. В период, когда существовали еще только лишь неясные очертания будущей книги, мне посчастливилось повстречать, полюбить и создать семью с женщиной, которая оказалась невероятно талантливым писателем и популяризатором науки. Я бесконечно благодарен Дженнифер Оллетт (Jennifer Ouellette), благодаря которой эта книга стала несравнимо лучше, а весь процесс обрел смысл.

Я разослал черновики рукописи многим своим друзьям, и в ответ они прислали мне массу шутливых комментариев и кучу до невозможности разумных предложений по улучшению. Огромное спасибо Скотту Ааронсону (Scot Aaronson), Эллисон Беатрис (Allyson Beatrice), Дженни Чен (Jennie Chen), Стивену Фладу (Stephen Flood), Дэвиду Гре (David Grae), Лорен Гандерсон (Lauren Gunderson), Робину Хэнсону (Robin Hanson), Мэтту Джонсону (Mat Johnson), Крису Лакнеру (Chris Lackner), Тому Левенсону (Tom Levenson), Карен Лорре (Karen Lorre), Джорджу Массеру (George Musser), Хью Прайсу (Huw Price), Тэду Пайну (Ted Pyne), Мари Рути (Mari Ruti), Алексу Сингеру (Alex Singer) и Марку Троддену (Mark Trodden) за то, что не давали сбиться с пути истинного. Подозреваю, что многие из них в скором будущем примутся за написание собственных книг, и я буду счастлив прочитать каждую.

На протяжении многих лет я обсуждал стрелу времени и другие вопросы, о которых говорится в этой книге, с коллегами-учеными, и теперь уже невозможно сказать, кто из них в какой степени повлиял на формирование моей точки зрения. Помимо перечисленных выше первых читателей, я хочу поблагодарить Энтони Агирре (Anthony Aguirre), Дэвида Альберта (David Albert), Андреаса Альбрехта (Andreas Albrecht), Тома Бэнкса (Tom Banks), Рафаэля Буссо (Raphael Bousso), Эдди Фари (Eddie Farhi), Брайана Грина (Brian Greene), Джима Хартла (Jim Hartle), Курта Хинтербихлера (Kurt Hinterbichler), Тони Леггетта (Tony Leggett), Андрея Линде (Andrei Linde), Лауру Мерсини (Laura Mersini), Кена Олума (Ken Olum), Дона Пейджа (Don Page), Джона Прескилла (John Preskill), Игги Савики (Iggy Sawicki), Козму Шализи (Cosma Shalizi), Марка Средники (Mark Srednicki), Кипа Торна (Kip Thorne), Алекса Виленкина (Alex Vilenkin) и Роберта Уайлда (Robert Wald) (а также остальных, кого я, к стыду своему, забыл упомянуть) за все разговоры, которые мы вели в течение этих лет. Особую благодарность я хочу выразить Дженни Чен (Jennie Chen), которая не только внимательно прочитала рукопись, но также оказала неоценимую поддержку в период, когда я лишь начинал всерьез заниматься изучением стрелы времени.