В этом и заключается идея возведения в степень. Если говорить конкретно о показательной функции, то здесь мы имеем в виду, что фиксируем какое-то определенное основание и позволяем степени, в которую возводится это основание, быть переменной величиной. Если обозначить основание через a, а степень — через x, то получим:

К сожалению, это определение может создавать впечатление, что показательная функция имеет смысл только в том случае, если степень x — это положительное целое число. Как умножить число на само себя минус два раза? Или 3,7 раза? Здесь вам остается только верить, что магия математики позволяет определять показательную функцию для любого значения x. Результатом является гладкая функция с очень маленьким значением, когда x — отрицательное число, но резко возрастающая, когда x становится положительным, как показано на рис. П1.

Рис. П1. Показательная функция 10x. Обратите внимание, что она возрастает так быстро, что совершенно невозможно изобразить ее для больших значений x.

Что касается показательных функций, есть две важные вещи, о которых необходимо помнить. Любое основание, возведенное в степень 0, равно 1, а любое основание, возведенное в степень 1, равно самому себе. Для основания 10 это выглядит так:

Если степень — это отрицательное число, то результатом операции является число, обратное результату возведения в соответствующую положительную степень:

То, что вы видите выше, — это всего лишь конкретные примеры из более общих свойств, которым подчиняется показательная функция. Одно из этих свойств является невероятно важным: если умножить два числа, представляющих собой одно и то же основание, возведенное в разные степени, то при перемножении степени складываются, а основание остается тем же самым:

То же верно и в обратную сторону: показательная функция от суммы степеней равна произведению двух чисел, равных основанию, возведенному в эти степени.[312]

Нетрудно понять, почему показательная функция так полезна: числа, с которыми нам приходится иметь дело, иногда бывают чрезвычайно большими, а с помощью возведения в степень вы можете превратить число средней величины в просто огромное. Как мы обсуждали в главе 13, количество различных состояний, необходимых для описания возможных конфигураций нашего сопутствующего объема Вселенной, равно примерно

Это число настолько неимоверно, невообразимо огромное, что было бы совершенно непонятно, с какой стороны вообще подступиться к его описанию, если бы на помощь не пришло возведение в степень.

Давайте рассмотрим несколько других больших чисел, для того чтобы оценить, насколько огромно это. Один миллиард равен 109, тогда как один триллион — это 1012; с этими значениями мы хорошо знакомы благодаря обсуждениям экономики и правительственных трат. Количество частиц в нашей наблюдаемой Вселенной составляет около 1088; настолько же велика была энтропия в ранние времена. Теперь, когда у нас есть черные дыры, энтропия наблюдаемой Вселенной равна приблизительно 10101, хотя вполне могла бы дорасти до 10120. (Это число, 10120, также представляет собой отношение предсказываемого значения плотности энергии вакуума к наблюдаемой плотности.)

Для сравнения, энтропия макроскопического объекта, такого как чашка кофе, — где-то 1025. Это значение сравнимо с числом Авогадро, которое равно 6,02 ∙ 1023 — примерно столько атомов составляют один грамм водорода. Число песчинок на всех пляжах Земли — приблизительно 1020. Число звезд в типичной галактике — около 1011, а число галактик в наблюдаемой Вселенной — около 1011, то есть в наблюдаемой Вселенной существует примерно 1022 звезд — немного больше, чем песчинок на Земле.

Базовые единицы измерения, используемые физиками, — это единицы времени, длины и массы; используются также их комбинации. Самый короткий интервал времени, представляющий интерес, — это планковское время, примерно 10–43 секунд. Предположительно инфляция продолжалась около10–30 секунд или меньше, хотя это значение чрезвычайно неточно. Вселенная создала гелий из протонов и нейтронов где-то через 100 секунд после Большого взрыва, а прозрачной стала в момент рекомбинации, 380 000 лет (1013 секунд) спустя. (В одном году около 3 ∙ 107 секунды.) Сейчас наблюдаемой Вселенной 14 миллиардов лет (примерно 4 ∙ 1017 секунды.) Еще через 10100 лет или около того все черные дыры практически полностью испарятся, оставив после себя холодную и пустую Вселенную.

Самая маленькая длина — это планковская длина, около 10–33 сантиметров. Размер протона — примерно 10–13 сантиметров, а размер человеческого существа — примерно 102 сантиметров (это очень низкое человеческое существо, но мы сейчас оперируем приблизительными значениями). Расстояние от Земли до Солнца — около 1013 сантиметров; расстояние до ближайшей звезды — около 1018 сантиметров, а размер наблюдаемой Вселенной — около 1028 сантиметров.

Планковская масса — это примерно 10–5 граммов; для отдельной частицы это было бы невероятно много, но по макроскопическим стандартам — совсем нет. Самые легкие частицы с ненулевой массой — нейтрино; мы даже пока не знаем точно, какова их масса, но минимальная вроде бы составляет около 10–36 граммов. Масса протона — приблизительно 10–24 граммов, а человеческого существа — примерно 105 граммов. Солнце весит около 1033 граммов, галактика — около 1045 граммов, а масса, содержащаяся в пределах наблюдаемой Вселенной, составляет около 1056 граммов.