23. В примечании 9 к главе 2 я объяснил, что энтропию системы правильнее определить как натуральный логарифм числа доступных квантовых состояний. Так что, если некая система обладает энтропией S, число таких состояний равно eS. Если предположить, что система проводит почти равное время в любом из микросостояний, совместимых с ее макросостоянием, то вероятность P флуктуации от начального состояния энтропии S1 к состоянию конечной энтропии S2 задается отношением числа микросостояний, связанных с S S ^ | каждым из них, то есть*3 = е 2 / е 1 = е 2! *для ясности, запишем S2 = SI — D, где D — «падение» энтропии от начальной величины S1. ТогдаР = е s ” 4,1 =е Лгде мы видим экспоненциальное снижение вероятности как функцию от падения энтропии. Какова же в таком случае вероятность формирования больцмановского мозга? Ну, при температуре T частицы в нашей термальной ванне обладают энергиями, очень близкими к T (в единицах, для которых kB = 1), поэтому чтобы построить мозг массой M, нам потребуется прибрать к рукам около M/T таких частиц (в единицах, для которых c = 1).

Поскольку энтропия ванны меняется вслед за числом частиц, падение D, по существу, равно M/T и, соответственно, вероятность равна примерно e — M/T. За особенно наглядным примером мы можем обратиться к очень отдаленному будущему и взять T равным температуре термальной ванны, возникающей вокруг космологического горизонта, около 10–30 K, что составляет примерно 10–41 ГэВ (где ГэВ, гигаэлектронвольт, примерно равен энергии, эквивалентной массе протона). Поскольку мозг содержит около 1027 протонов, M/T равно примерно 1027/10-41 = 1068. Таким образом, вероятность спонтанного возникновения мозга примерно равна e-1068. Время, необходимое для получения разумного шанса на реализацию такого редкого события, пропорционально 1/(e—1068), а именно e1068, что в данной главе для простоты мы аппроксимируем как 101068.

24. Хотя время вполне может быть неограниченно, существует естественный и при этом конечный релевантный масштаб, известный как «время возвращения». Речь о нем пойдет в примечании 34, так что здесь достаточно сказать, что время возвращения настолько велико, что число случаев возникновения больцмановских мозгов, прежде чем мы достигнем этого предела, будет — несмотря на крохотную частоту их образования — огромным.

25. Особенно усердный читатель заметит, что мы неявно привлекаем принцип безразличия, описанный в примечании 8 к главе 3. То есть, когда я рассматриваю происхождение своего мозга, я считаю равновероятными все воплощения, обладающие одинаковой физической конфигурацией. Поскольку почти все они должны быть образованы в больцмановской манере, очень маловероятно, что обычная история, которую я рассказываю о том, как возник мой мозг, верна. Однако, как в примечании 8 к главе 3, можно возразить против применения принципа безразличия в ситуациях, нисколько не похожих на те, в которых этот принцип эмпирически проверен (бросание монет и костей, а также огромное число случайных ситуаций, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни). Тем не менее многих ведущих космологов такой подход не устраивает, так что они рассматривают описанную мной в этой главе загадку больцмановского мозга вполне серьезно.

26. См.: David Albert, Time and Chance (Cambridge, MA: Harvard University Press, 2000), 116; Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (New York: Vintage, 2005), 168.

27. Позвольте мне упомянуть еще два родственных подхода к разрешению этой проблемы. Один из них — представить, что со временем природные «постоянные» дрейфуют таким образом, что физические процессы, необходимые для формирования больцмановских мозгов, подавляются. См., к примеру: Steven Carlip, "Transient Observers and Variable Constants, or Repelling the Invasion of the Boltzmann's Brains", Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 06 (2007): 001. Другой, который продвигает Шон Кэрролл с коллегами, состоит в том, что флуктуации, необходимые для формирования больцмановского мозга, при тщательном квантово-механическом анализе не возникают (K. K. Boddy, S. M. Carroll, and J. Pollack, "De Sitter Space Without Dynamical Quantum Fluctuations", Foundations of Physics 46, no. 6 [2016]: 702).

28. См., к примеру: A. Ceresole, G. Dall'Agata, A. Giryavets, et al., "Domain walls, near-BPS bubbles, and probabilities in the landscape", Physical Review D 74 (2006): 086010. Физик Дон Пейдж выбрал иной подход к проблеме больцмановского мозга, отметив, что в любом конечном объеме пространства, претерпевающего ускоренное расширение (таком, как наше), будет наблюдаться — за неограниченное время — неограниченное число спонтанно возникших мозгов. Чтобы избежать ситуации, когда наш мозг оказывается атипичным членом этого множества, Пейдж предположил, что наша область пространства не имеет впереди неограниченного времени, но, напротив, движется к какому-то концу. Его расчеты (Don N. Page, "Is our universe decaying at an astronomical rate?" Physics Letters B 669 [2008]: 197–200) указывают, что максимальный срок жизни нашей Вселенной составляет, возможно, всего лишь 20 млрд лет. Многие другие физики (см., к примеру: R. Bousso and B. Freivogel, "A Paradox in the Global Description of the Multiverse", Journal of High Energy Physics 6 [2007]: 018; A. Linde, "Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem", Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 0701 [2007]: 022; A. Vilenkin, "Predictions from Quantum Cosmology", Physical Review Letters 74 [1995]: 846) предлагают другие способы обойти проблему больцмановского мозга, используя иные математические формулы для расчета вероятности их формирования. Короче говоря, пока нет консенсуса в том, как следует считать вероятность подобных процессов; несомненно, это одно из тех плодотворных противоречий, что дают толчок дальнейшим исследованиям.

29. Kimberly K. Boddy and Sean M. Carroll, "Can the Higgs Boson Save Us from the Menace of the Boltzmann Brains?" 2013, arXiv: 1308.468.

30. По крайней мере, так выглядит история, основанная на уравнениях Эйнштейна. Определить, на самом ли деле это мощное сжатие станет концом, или какой-нибудь экзотический процесс воспротивится этому в последний момент, можно будет только с построением полной квантовой теории гравитации. В настоящее время научный консенсус склоняется к варианту, что туннелирование к отрицательному значению порождает терминальное состояние — в данном случае, подлинный конец времени.

31. Paul J. Steinhardt and Neil Turok, "The cyclic model simplified", New Astronomy Reviews 49 (2005): 43–57; Anna Ijjas and Paul Steinhardt, "A New Kind of Cyclic Universe" (2019): arXiv:1904.0822 [gr-qc].

32. Alexander Friedmann, trans. Brian Doyle, "On the Curvature of Space", Zeitschrift für Physik 10 (1922): 377–386; Richard C. Tolman, "On the problem of the entropy of the universe as a whole", Physical Review 37 (1931): 1639-60; Richard C. Tolman, "On the theoretical requirements for a periodic behavior of the universe", Physical Review 38 (1931): 1758-71.

33. Более вероятно, однако, что этот спор не найдет точного решения. Причина в том, что инфляционная парадигма может предусматривать также и отсутствие первичных гравитационных волн: модели, в которых масштаб энергий инфляции снижен, должны порождать слишком слабые волны, недоступные для наблюдений. Некоторые исследователи громогласно заявляют, что такие модели неестественны и потому менее убедительны, чем циклическая модель. Но это качественное суждение, по которому мнения исследователей разойдутся. Потенциальные данные, о которых я говорю (или, скорее, отсутствие таковых), наверняка станут поводом для горячих дискуссий в физическом сообществе между сторонниками этих двух космологических теорий, но маловероятно, что инфляционный сценарий будет отброшен.