Отвечая на исходный вопрос Фалеса, Пифагор и его последователи утверждали, что все вещи являются числами. Изучение математических соотношений, характеризующих музыкальные гаммы и движение планет, привело Пифагора к вере в то, что количественные законы природы можно обнаружить во всех областях, которые исследует наука. Кроме того, он ожидал, что такие законы так же просты, как законы, управляющие музыкой.

Западная мысль обязана пифагорейцам, во-первых, открытием чистой математики, во-вторых, более строгим определением понятия «математическое доказательство», в-третьих, знанием того, что индивидуальность вещи придают ее форма и структура1. Их работа положила начало научному поиску количественных законов и философской традиции формализма, которая в конце концов достигла наивысшего расцвета у Платона2.

У пифагорейцев философия стала центральной частью религиозного образа жизни, поскольку Пифагор был не только математиком, но также учителем морали и религиозным лидером, и Пифагорейское братство было не толъко группой ученых-исследователей, но также общественным и религиозным сообществом.

Понятие формы и греческое слово «эйдос», которое в конце концов стало его выражать, имеют довольно сложную историю. Первоначально «эйдос» означало «внешний вид вещи», или «лицо» (как у Гомера, когда Ахилл, разгневавшись на Агамемнона, называет его «кинэйдос!» («собачья морда!»). В медицине «эйдос» имело смысл «внешний вид пациента» – его физический тип, имевший значение для постановки диагноза и лечения. В математике «эйдос» было почти синонимом слова «схема» (форма) и означало математическую структуру. Медицинское значение, связывавшее «внешний вид» пациента со здоровьем или болезнью, смешивалось с понятием «хорошая форма», важным в атлетике и танцах, и заставляло предположить, что форма – это критерий ценности. Платон и Аристотель пытались разными путями соединить эти два смысла слова «форма», математический и идеальный.

Эта формалистическая философия появилась на свет в 530 году до н. э., когда выдающийся мыслитель Пифагор переехал со своего родного Самоса в город Кротону в Южной Италии. В Кротоне находилась крупная медицинская школа, и это, возможно, сырало для Пифагора важную роль при выборе нового места жительства. Очень скоро в этом городе сформировалось Пифагорейское братство, под влиянием которого ряд греческих общин в Южной Италии стали жить по социальной и этической программе, которой учил Пифагор; кроме того, мы можем обнаружить в математике и философии новые для того времени идеи, которые приписывают Пифагору и его последователям. Пифагор был одновременно религиозным и общественным лидером, философом и ученым, а также практикующим художником. Возможно, это он разработал чертежи для серии монет нового типа, которые были отчеканены в Италии вскоре после его приезда туда3.

Позднейшим историкам, начиная с эпохи Аристотеля и до сих пор, было трудно представить себе, как две стороны пифагорейства, научная и религиозная, могли существовать вместе, поскольку к тому времени, когда жил Аристотель, четкая граница между наукой и религией стала считаться чем-то само собой разумеющимся. В зависимости от своих собственных предпочтений позднейшие авторы считали кружки пифагорейцев либо чисто научно-исследовательскими организациями, либо чисто религиозными общинами4. Далее мы обсудим сначала интеллектуальные достижения этого братства, а затем его религиозную деятельность.

Специфические для пифагорейцев философские идеи можно свести к двум фразам: «Числа – это вещи» и «Вещи – это числа»5. Первая из этих заповедей расширяет понятие реальности далеко за пределы идеи милетцев, что «быть значит быть материальным»; она говорит о том, что пифагорейская школа открыла чистую математику. Вторая заповедь выражает понятие, которое возникло из другого открытия пифагорейцев – что математические формулы можно использовать для объяснения физического мира. Из этого открытия они методом обобщения вывели философский тезис о том, что по своей самой глубинной природе мир – математический. Точно так же, как милетцы под впечатлением того, что открыли физику, думали, что, возможно, материя – ключ, которого одного достаточно, чтобы познать природу вещей, пифагорейцы под впечатлением того, что открыли математику, думали, что она и есть вся философия. Эти два предположения поставили перед последующими греческими философами проблему – как примирить форму и материю, которые обе претендуют на роль составных частей реального мира.

Чистая математика требует огромного шага вперед по пути обобщения. Вместо того чтобы думать и считать в терминах наборы предметов и получать в результате разные формы числа два, если объединяешь в пару двух свиней или два камешка, человек должен сосредоточить внимание на числе два как просто понятии «два», а не количестве «два чего-то». В большинстве примитивных языков, если не во всех них, мы можем обнаружить «счетные приложения» – слова, указывающие на то, какие вещи считают. В нашем языке тоже еще сохранилось несколько таких слов: мы говорим «две головы скота», «два куска хлеба» и так далее. В японском языке их гораздо больше: «два круглых предмета карандашей», «два плоских предмета листов бумаги» и так далее. Это пережитки той стадии развития человеческого сознания, когда числа использовали только как обозначения количества чего-то, и если бы кто-то сказал: «два», те, кто слушал его, спросили бы: «Два чего?» Признать, что «числа – это вещи», можно, только если два и любое другое количество отделены от числовых приложений и больше не зависят от них.

Пифагорейцы обнаружили, что могут думать по тому же методу и о формах. Вместо того чтобы думать о конкретных треугольных участках земли, они могли думать о треуголъности, о любом треугольнике или любом прямоугольном треугольнике6. Сегодня нам, поскольку мы привыкли к чисто отвлеченным математическим понятиям и к мыслительной операции обобщения, трудно оценить по достоинству новизну этого вклада пифагорейцев в науку. И, правду говоря, некоторые стороны их математики поражают нас своей странностью. Во-первых, значительная часть этой новой математики не была чистой, поскольку сильно зависела от рисунков и от воображения. Числа у пифагорейцев имели форму и даже были личностями. Как понятие материи у философов милетской школы, понятие числа должно было пройти путь развития от интуиции до постулата (историки математики часто это скрывают: сообщают только о некоторых теоремах и идеях – тех, которые математически чисты, – и пренебрегают всем остальным). Но возможно, еще поразительнее для нас тот огромный почти религиозный восторг, с которым пифагорейцы относились к математике. Новое понимание формы озарило умы своих древних первооткрывателей с силой, равной силе мистического откровения.

Некоторое представление о степени развития математики в эпоху от Пифагора до Платона мы можем получить из текстов по геометрии, изложенных в книгах 1–5 «Элементов» Евклида, а эти книги – новая редакция более ранних пифагорейских трактатов по геометрии7. Кроме того, получить ответ нам помогают рассказы и некоторые теоремы. «Теорема Пифагора», предположительно открытая самим Пифагором, породила много легенд. Аристотель сообщает, что пифагорейцы знали и давали ученикам своей школы еще в начале учебы доказательство того, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с этой стороной. Это доказательство, которое мы применяем до сих пор, показывает, что техника построения доказательств и способность при необходимости мыслить отвлеченно у пифагорейцев достигали очень высокого уровня8. Сообщения о том, что пифагорейцы отождествляли правильные геометрические тела с молекулами материального мира, говорят, что ученых этой школы интересовало применение математических методов к изучению твердых тел и применение математики к естественным наукам. Мы также обнаружим сообщение о «сите» – методе, позволявшем выбрать из последовательности чисел все простые числа, и своеобразные зачатки теории чисел.