О самом Пифагоре (580–500 гг. до н. э.), которого Геродот называл «величайшим эллинским мудрецом», достоверно ничего не известно. Согласно легенде, после путешествий и длительного пребывания в Вавилоне и Египте он вернулся на Запад и основал в Южной Италии тайный культ, трактующий мистическое объяснение Вселенной.

Члены братства объединялись пожизненно, связанные клятвой и особым мистическим ритуалом, напоминавшим некоторые восточные мистерии, и соблюдением строгих этических и рациональных предписаний. Школа быстро расширялась и приобрела значительное политическое влияние, однако благодаря ее политическим или религиозным взглядам подвергалась жестоким преследованиям. Как предполагают, во время их Пифагор и погиб.

Самое пространное описание раннего пифагорейства дается Аристотелем: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев, стали считать ее начала началами всего существующего. А поскольку среди этих начал числа от природы суть первое, в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходства с существующим и возникающим, более, чем в огне, земле и воде (например, некое свойство чисел справедливость, а иное — душа и ум, другое — удача, так можно сказать по каждому остальному случаю). Далее они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах. Следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и числа — первое во всей природе. Они предположили, что элементы чисел — суть элементы всего существующего, небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями, частями неба и всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в соответствие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным» (Метафизика, кн. 1).

Очевидно, Аристотель не выказывает благожелательности. Тем не менее Филолай (ок. 450 г. до н. э.), чей труд, посвященный пифагорейским доктринам, сохранился фрагментами, подтверждает это заявление основным положением пифагорейства: «В основе всех вещей лежит число, — учил Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа».

Источник подхода пифагорейцев к числу — два главных принципа: возвышение десятка, содержащего все числа и, следовательно, вещи, и в геометрической концепции математики. Из первой посылки, по Аристотелю, образовалась их космическая теория.

В центре Вселенной помещен центральный огонь, вокруг которого вращаются Земля, Солнце, Луна, планеты и постоянные звезды. Итоговое целое из девяти сфер настолько отвратительно их вере в силу организованной и математической Вселенной, что невидимая «противоположная земля» должна была завершить эту декаду. Число 10 для осознания завершенности было просто необходимо, поскольку все вещи содержались внутри декады, а после 10 числа просто повторялись.

С другой стороны, геометрический подход к математике доказывал связь (отличную от астрологической) между абстрактным числом и конкретной реальностью. Именно благодаря цифрам, заметил Филолай, вещи и становятся известными. Следовательно, число 1 представляется точкой. Число 2 позволяет расширение, ибо линия проводится, присоединяясь к точке.

Все же ни точка, ни линия не являются вещественными предметами. Как бы то ни было, триада представлена треугольником, первой плоской фигурой и, следовательно, первым реальным числом. Треугольник становится основой базы всех предметов, постижимых чувствами. Суть замечания Платона — в том, что поверхность состоит из треугольников.

Что же касается числа 3, это самое фундаментальное представление поверхности, так что из числа 4 производится первое геометрическое тело. Ведь если четвертая точка устанавливается в среднем положении над треугольником и соединяется линиями с тремя его точками, получается пирамида, или тетраэдр, четырехгранник, состоящий из треугольных поверхностей.

Или, как подметили поздние комментаторы, поверхность ограничивается тремя точками, восходящими к размещенной сверху. Выявлены пять подобных «регулярных» твердых тел, состоящих в основном из треугольников. Первые четыре — тетраэдр, октаэдр (восьмигранник), икосаэдр (двадцатигранник) и куб — ассоциировались у Платона с огнем, воздухом, водой и землей.

Подчеркнем, огонь, первый принцип пифагорейской космографии, оставался единственной фигурой, чья поверхность четырехугольная и связана с землей, таким образом добавляя философскую поддержку традиционной вере в квадратную форму земли.

Существовавшие четыре элемента во многом влияли на стабильность мышления многих греческих философов, полагавших, что есть четыре, вместо пяти, постоянных тела. Платон или подчеркивал, что пятый включает и управляет остальными четырьмя, или обходил выдвинутое положение, когда заявлял, что додекаэдр, двенадцатигранник с 12 пятиугольными лицевыми сторонами, «используется, чтобы приукрасить Вселенную созвездиями». Позже философы уделяли особое внимание определению природы двенадцатигранника.

Здесь, как и в «Республике», порядок осуществления действия и терминология геометрические по своим свойствам. «Свадебное число» «Республики» образуется из известных 3, 4, 5 правильных треугольников, знакомых египтянам по крайней мере уже в 1000 году до н. э. Они явно любимые фигуры и самого Пифагора. Вероятно, так вполне было в Античности, где измерения оказывались необычно рациональными и чьи стороны, 3 и 4, первые ровные числа и первое солидное число, объединялись, чтобы произвести гипотенузу, 5, число постоянных тел.

Краткое изложение Эвклидом трудов греческих математиков также свидетельствует о преобладании геометрического мышления над арифметическим и обнаружении гармонических пропорций, приписанных Пифагору. Должно быть, оно происходит из геометрического опыта прижимания натянутой струны или наблюдения за относительным весом кузнечных молотов.

Из геометрии вытекает пифагорейская концепция совершенного числа, которым является сумма не ее делителей, а ее кратных частей. Она, должно быть, придает особый вес их философии, обнаруживая, что первое совершенное число 6 = (1+ 2 + 3) находится в области больших 3, 4, 5 правильных треугольников, а второе совершенное число — 28 — оказывается астрологическим значительным.

Подобное сочетание философии и геометрии побуждало рассматривать «математику» и «пифагорейство» как почти трансформируемые понятия. Некоторые пифагорейские открытия, например различение четных и нечетных чисел, простого числа, оказывались исключительно математическими.

Другой пример организации рациональных целых чисел образуется по аналогии с точными числами. Далее начинают классифицировать числа, подразделяя на простые и составные, исходя из отношений числа к кратным частям. Сказанное относится также и к геометрической концепции.

Согласно терминологии, используемой в алгебре, кратные части чисел являются делителями, исключающими себя. Следовательно, простое число делится на единицу и самое себя. Так, например, делителями 6 являются 1, 2, 3 и 1 + 2 + 3 = 6. Составное число то, чьи части складываются в сумму меньшую, чем число. Кратные части 14 — 1, 2, 7, целое же составляет всего 10. Избыточное число также предоставляет части для деления: 12 — 1, 2, 3, 4, 6, в сумме же 16.