Подобно Диофанту, Леонардо представлял общие методики через конкретные примеры. Один из них основывался на вопросе аль-Караджи. В 1225 г. Пизу посетил император Фридрих II. Он был наслышан о Леонардо и его математических занятиях и, судя по всему, решил, что будет забавно объявить математический турнир и посмотреть на него в деле. В то время подобные публичные состязания были обычным делом. Участники задавали друг другу вопросы. В команду императора входили Джованни из Палермо и магистр Теодор. В команду Леонардо входил только сам Леонардо. Команда императора попросила Леонардо найти такой квадрат, который остался бы квадратом, если вычесть из него или прибавить к нему 5. Как обычно, все числа должны были быть рациональными. Иными словами, соперники хотели, чтобы Леонардо доказал, что 5 — число конгруэнтное, отыскав конкретное рациональное число x, для которого x − 5, x и x + 5 являются квадратами.

Эту задачу ни в коем случае нельзя назвать простой — самое краткое ее решение таково:

В этом случае

Леонардо нашел решение и включил его в «Книгу квадратов». Он получил ответ при помощи общей формулы, связанной с формулой Евклида/Диофанта для пифагоровых троек. Из нее Леонардо получил три целых квадрата с общей разностью 720, а именно: 31², 41² и 49². Затем он разделил их на 12² = 144, чтобы получить три квадрата с общей разностью 720/144, что равняется 5{38}. В терминах пифагоровых троек можно взять треугольник со сторонами 9, 40 и 41 и площадью 180 и разделить на 36. Получим треугольник со сторонами 20/3, 3/2, 41/6. Площадь его равняется 5.

Именно у Леонардо мы находим латинское слово congruum для обозначения набора из трех квадратов в арифметической прогрессии. Позже Эйлер пользовался словом congruere, «сходятся». Первые десять конгруэнтных чисел и соответствующие простейшие пифагоровы тройки приведены в табл. 3. Никаких простых закономерностей здесь не видно.

Таблица 3. Первые десять конгруэнтных чисел и соответствующие им пифагоровы тройки

Первоначальным прогрессом в этом вопросе мы обязаны в первую очередь арабским математикам, показавшим, что числа 5, 6, 14, 15, 21, 30, 34, 65, 70, 110, 154 и 190, а также еще 18 больших чисел, являются конгруэнтными. Леонардо, Анджело Дженокки (1855) и Андре Жерарден (1915 г.) добавили к этим числам 7, 22, 41, 69, 77 и еще 43 числа, не превосходящих 1000. Леонардо в 1225 г. объявил, что число 1 не конгруэнтно, но не привел никаких доказательств. В 1569 г. Ферма доказал это. К 1915 г. все конгруэнтные числа меньше 100 были определены, но проблема плохо поддавалась решению, и еще в 1980 г. статус многих чисел меньше 1000 оставался неопределенным. О сложности проблемы можно судить по тому, как Л. Бастьен открыл конгруэнтность числа 101. Стороны соответствующего прямоугольного треугольника равны:

Он нашел эти числа в 1914 г. вручную. К 1986 г., когда считать благодаря компьютерам стало проще, Г. Крамарц нашел все конгруэнтные числа до 2000.

В какой-то момент было замечено, что другое, но связанное с этой задачей уравнение y² = x³ — d²x имеет решение x, y в целых числах тогда и только тогда, когда d конгруэнтно{39}. В одном направлении это наблюдение очевидно: правая часть уравнения представляет собой произведение x, x — d и x + d, а если все сомножители являются квадратами, то квадратом является и произведение. Обратное утверждение получить также несложно. Такая формулировка задачи сразу переводит ее в богатые и процветающие владения теории чисел. Для любого заданного d это уравнение задает y², равный кубическому многочлену от x, и таким образом определяет эллиптическую кривую. Так что проблема конгруэнтных чисел — частный случай вопроса, ответить на который мечтают многие специалисты по теории чисел: при каких условиях эллиптическая кривая содержит хотя бы одну рациональную точку? Вопрос этот далеко не очевиден, даже для только что упомянутого частного случая эллиптической кривой. К примеру, 157 — число конгруэнтное, но гипотенуза простейшего прямоугольного треугольника с такой площадью равна

Прежде чем продолжить, мы позаимствуем у Леонардо его уловку — ту самую, что помогла перейти от 720 к 5, — и применим ее в самом общем виде. Умножив любое конгруэнтное число d на квадрат n² целого n, мы получим также конгруэнтное число. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять любую рациональную пифагорову тройку, соответствующую треугольнику с площадью d, и умножить стороны на n. Площадь треугольника увеличится в n² раз. То же произойдет и при делении на n; площадь уменьшится в n² раз. Результат этого процесса будет целым только в том случае, если площадь делится нацело на квадрат целого числа (т. е. имеет квадратный делитель), так что при поиске конгруэнтных чисел достаточно работать только с числами, не имеющими такого делителя. Приведем первые несколько чисел, не имеющие квадратного делителя:

Теперь можно сформулировать критерий Таннелла. Нечетное число d, не имеющее квадратных делителей, конгруэнтно тогда и только тогда, когда число (положительных или отрицательных) целых решений x, y, z уравнения