Мандельброт предложил применить в теории ценообразования вместо обычной схемы случайных блужданий более сложный механизм поведения, а именно «полеты» Леви, названные так в честь французского математика Поля Леви, создавшего эту модель в 1926 году.

Полеты Леви[80] представляют собой обычные случайные блуждания, время от времени прерываемые резкими прыжками на большие расстояния*. Интересно, что именно так ведут себя некоторые живые существа в поисках пищи. Они тщательно изучают небольшую область, а затем резко переходят (или перепрыгивают, как лягушки) на другое место. Такой метод поиска в некоторых случаях оказывается гораздо эффективнее случайного блуждания на ограниченном участке.

Системы с таким динамическим поведением получили в математике название устойчивых по Леви процессов, а Мандельброт предположил, что именно к ним следует отнести происходящие на рынке процессы. Наличие редких, но больших прыжков позволяло объяснить утолщение хвостов распределений. Достоинством модели служило и то, что она подобно исходной модели Башелье для случайных блужданий была описательной, т. е. предлагала некую форму распределения флуктуаций, не вдаваясь в объяснения причин их возникновения.

Чисто описательные модели на какое-то время стали весьма популярны в экономической науке, хотя ученые академического склада и пытались иногда разрабатывать теории на основе «первых принципов», т.е. создавали модели, основанные на определенных предположениях относительно механизмов функционирования рынка, и пытались прогнозировать его поведение. К сожалению, пока ни одна из моделей не может описывать реальные рыночные показатели. В связи с этим экономист Пол Ормерод с горечью отметил, что общенаучная парадигма сравнения теории с экспериментальными данными, возможно, вообще не подходит для экономики и поэтому никогда не применяется в ней. Для многих экономистов работа с реальными экономическими показателями вообще представляется чуждой задачей, и они предпочитают начинать исследования с того, что кажется им самим необычным и интересным[81].

Начиная с середины 1960-х годов теория устойчивых по Леви рыночных флуктуаций постепенно приобретала популярность даже у академических экономистов. Но экономисты-практики — собственно трейдеры и их советники, пытавшиеся применить новые экономические модели для реальных предсказаний поведения рынка, продолжали верить в гауссовские формы распределения. Частично это можно объяснить присущей им практичностью: чисто гауссовский шум интуитивно понятен большинству и его роль легко поддается учету в математическом моделировании, в то время как полеты Леви обсчитываются гораздо сложнее. Эти доморощенные экономисты были убеждены, что тонкая природа флуктуаций слабо влияет на их расчеты.

В действительности даже учет полетов Леви дает лишь приблизительную картину реальных флуктуаций рыночных цен. В 1995 году физики Розарио Мантенья и Джен Стэнли из университета в Бостоне проанализировали более миллиона записей стандартных рыночных и биржевых индексов, используя базы экономических данных за пять лет работы рынка, но так и не получили точной формы статистического распределения. Они рассматривали статистику отклонений[82] — разности цен акций через строго заданные интервалы времени: неделю, сутки, час, минуту. Такие отклонения служат показателем флуктуаций рыночных цен, при неизменности этого показателя возможная прибыль (вот тут прибыль! — Г. Э.) равна нулю. В частности, Мантенья и Стэнли изучали колебания известного индекса цен S&P 500 (Standard & Poor 500 market index), о котором уже говорилось. Это индекс соответствует рыночной капитализации активов пятисот ведущих американских компаний, отобранных на основе суммарной стоимости их акций, степени ликвидности и представительности различных отраслей промышленности. Этот индекс обычно рассматривается аналитиками и специалистами как суммарный показатель состояния экономики США.

Некоторые из полученных Мантенья и Стэнли результатов, приведенные на рис. 8.3, безусловно, свидетельствуют о том, что эти флуктуации не могут быть описаны моделью случайных блужданий. Малые флуктуации соответствуют распределению вероятностей для устойчивых по Леви процессов, однако распределение более крупных демонстрирует какое-то промежуточное состояние между процессами Гаусса и Леви. Другими словами, в модели Башелье недооцениваются частота и роль крупных флуктуаций, а в модели Мандельброта с «толстыми хвостами» распределений их частота переоценивается. Исследователи стали искать в статистике устойчивых по Леви процессов закономерности перехода от малых флуктуаций к большим.

Неожиданно, оказалось, что распределения флуктуаций рыночных показателей оказываются чрезвычайно похожими при самых разных временных интервалах между измерениями. Мантенья и Стэнли обнаружили, что распределения колебаний, измеренных с интервалами в минуту, день или неделю, почти совпадают друг с другом, т. е. поведение рынка остается неизменным при «увеличении» масштаба (разумеется, до определенных пределов, о чем будет рассказано далее). Этот довольно удивительный факт свидетельствует о том, что флуктуации рыночных и биржевых цен в каком-то смысле вообще не зависят от масштаба, что противоречит всем представлениям, лежащим в основе теории гауссовских флуктуаций. Увеличив часть кривой на рис. 8.2, а, мы вновь получаем те же колебания, которые характеризовали исходную кривую. Изменяя временной масштаб измерений, мы будем вновь и вновь получать одинаковые изломанные линии[83].