В данном контексте π – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2π радиан. Стало быть, cos π = −1, а sin π = 0. Это означает, что:

Следовательно,

Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».

В беседе с доктором Сарой Гринволд из Аппалачского университета Кен Килер рассказал следующую историю, связанную с его отцом Мартином Килером, которому было присуще интуитивное понимание математики:

Что меня до сих пор удивляет, так это то, что он сделал это не посредством геометрического (как обычно выводят сумму первых n целых чисел) или индуктивного доказательства. Он предположил, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен с неизвестными коэффициентами, а затем определил эти коэффициенты, решив системы из четырех линейных уравнений, выведенных путем вычисления первых четырех сумм квадратов. (И он решил их вручную, без определителей.) Когда я спросил его, как он понял, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен, он сказал: «А чем еще она может быть?»

Обычно мы представляем себе фракталы как структуры, состоящие из самоподобных структур в любом масштабе. Другими словами, общая структура объекта сохраняется, когда мы увеличиваем или уменьшаем его масштаб. Как отметил первооткрыватель фракталов Бенуа Мандельброт, такие самоподобные структуры можно найти в природе: «На примере цветной капусты видно, что объект может состоять из множества частей, каждая из которых подобна целому, но имеет меньший размер. Многие растения обладают таким свойством. Облако представляет собой нагромождение форм, напоминающих облака. Приблизившись к облаку, вы увидите не что-то однородное, а такие же неоднородные структуры, только в меньшем масштабе».

Фракталы также известны тем, что имеют дробную (фрактальную) размерность. Для того чтобы получить представление о том, что это такое, проанализируем конкретный фрактальный объект, а именно треугольник Серпинского, который можно построить следующим образом.

Сначала берем обычный равносторонний треугольник и вырезаем из него центральный треугольник, что приведет к образованию первой из четырех фигур с треугольниками, показанных на рисунке ниже. Эта фигура состоит из трех треугольников, в каждом из которых тоже удаляем центральный треугольник, и в результате получаем вторую из четырех фигур. Затем центральные треугольники снова нужно вырезать, что образует третью фигуру с треугольниками. В случае бесконечного повторения этой процедуры будет построена четвертая фигура, которая и является треугольником Серпинского.

Один из способов получить представление о размерности – проанализировать изменение площади объектов при изменении их длины. Например, увеличение длин сторон обычного двумерного треугольника в два раза приводит к увеличению его площади в четыре раза. В действительности увеличение длин сторон любой двумерной фигуры в два раза приводит к увеличению площади этой фигуры в четыре раза. Однако если мы удвоим длины сторон треугольника Серпинского, показанного на рисунке выше, для того чтобы получить показанный ниже треугольник Серпинского большего размера, это не приведет к четырехкратному увеличению его площади.

Увеличение длин сторон треугольника Серпинского в два раза приводит к увеличению его площади в 3 (а не 4) раза, поскольку треугольник большего размера можно построить только из трех экземпляров исходного треугольника меньшего размера, изображенного на рисунке серым цветом. Не вдаваясь в математические детали, можно сказать, что треугольник Серпинского имеет размерность 1,585 (точнее говоря, log 3/log 2 измерений).

Хотя размерность 1,585 кажется нонсенсом, это имеет смысл в контексте процесса построения треугольника Серпинского, который начинается с обычного двумерного треугольника с большой видимой площадью, но последующее неоднократное (бесконечное число раз) удаление центрального треугольника означает, что полученный в результате треугольник Серпинского имеет нечто общее с сетью одномерных волокон или даже с совокупностью одномерных точек.

В эпизоде «Узник Бенды» Милейший Клайд Диксон пишет доказательство теоремы Килера (также известной как теорема Футурамы) на флуоресцентной зеленой доске. Вот расшифровка этого доказательства.

Во-первых, пусть π представляет собой k-циклическую перестановку на множестве [n] = {1, …, n}. Без потери общности запишем:

Пусть означает перестановку, которая обеспечивает обмен содержимого a и b.

Согласно предположению, π образуется посредством k отдельных перестановок на множестве [n].

Введем два новых элемента и запишем:

Для любого i = 1, …, k пусть σ представляет собой серию перестановок «слева-направо»:

σ = (< x, 1> < x, 2> … < x, i>) (< y, i + 1> < y, i + 2> … < y, k>) (< x, i + 1>) (< y, 1>)

Обратите внимание, что каждая перестановка приводит к обмену элемента из [n] на один из элементов {x, y}, а значит, все они отличны от перестановок в пределах множества [n], которые привели к образованию π, а также от . Обычная проверка показывает, что теперь: