Итак, законы физики не только позволяют (или, как я обосновал, требуют) существование жизни и мышления, но требуют от них эффективности, в некотором определённом смысле. Для выражения этого чрезвычайно важного свойства реальности современный анализ универсальности обычно исходит из возможности существования компьютеров, универсальных даже в более строгом смысле, чем того требует сам принцип Тьюринга: универсальные генераторы виртуальной реальности не только возможны, но их можно построить так, что они не потребуют непрактично больших ресурсов для воспроизведения простых аспектов реальности. В дальнейшем, говоря об универсальности, я буду иметь в виду именно такую универсальность, если не сказано иного.

Насколько эффективно можно воспроизвести те или иные аспекты реальности? Другими словами, какие вычисления можно практически выполнить за данное время и при данных возможностях? Это основной вопрос теории вычислительной сложности, которая, как я уже сказал, занимается изучением ресурсов, необходимых для решения вычислительных задач. Теория сложности ещё не объединена в достаточной степени с физикой, чтобы дать многие ответы в количественном виде. Однако она достигла немалого успеха в важном деле грубого различия вычислительных задач на легко- и труднорешаемые. Общий подход лучше всего проиллюстрировать на примере. Рассмотрим задачу умножения двух достаточно больших чисел, скажем, 4 220 851 и 2 594 209. Многие из нас помнят тот метод умножения, которому мы научились в детстве. Он включает умножение каждой цифры одного числа поочерёдно на каждую цифру другого, сдвиг промежуточных результатов и их сложение. Этот стандартный алгоритм позволяет получить окончательный ответ, в данном случае — 10 949 769 651 859. Вероятно, многие не захотят признать, что эта утомительная процедура делает умножение «лёгкой» задачей хоть в каком-то обыденном смысле этого слова. (В действительности существуют более эффективные методы умножения больших чисел, но этот весьма нагляден.) Однако с точки зрения теории сложности, которая имеет дело с трудными задачами, решаемыми компьютерами, не подверженными скуке и почти никогда не ошибающимися, этот метод определённо попадает в категорию «лёгких».

В соответствии со стандартным определением для «лёгкости» решения задачи важно не фактическое время, затрачиваемое на умножение конкретной пары чисел, а тот факт, что при применении того же самого метода даже к большим числам время увеличивается не слишком резко. Возможно, это покажется неожиданным, но такой очень косвенный метод определения «лёгкости» очень хорошо работает на практике для многих (хотя и не всех) важных классов вычислительных задач. В случае умножения, например, нетрудно убедиться, что стандартный метод можно использовать и для умножения чисел, скажем, в десять раз больших, приложив совсем незначительные дополнительные усилия. Ради иллюстрации предположим, что каждое элементарное умножение одной цифры на другую занимает у некоторого компьютера одну микросекунду (включая время, необходимое для сложения, сдвига и других операций, сопровождающих каждое элементарное умножение). При умножении семизначных чисел 4 220 851 и 2 594 209 каждую из семи цифр первого числа нужно умножить на каждую из семи цифр второго числа. Таким образом, общее время, необходимое для умножения (если операции выполняются последовательно), составит семью семь, или 49 микросекунд. Если на вход поданы числа примерно в десять раз бо́льшие, то есть содержащие по восемь цифр, на их умножения потребуется 64 микросекунды: увеличение составляет всего 31 %.

Ясно, что числа из огромного диапазона — безусловно содержащего любые числа, которые когда-либо были измерены как количественные значения физических переменных, — можно перемножить за крошечную долю секунды. Таким образом, умножение действительно является легкорешаемой задачей для любых целей в пределах физики (или, по крайней мере, в пределах существующей физики). За пределами физики, конечно, могут появиться практические причины для умножения куда больших чисел. Например, для криптографии огромный интерес представляют произведения простых чисел, состоящих примерно из 125 цифр. Наша гипотетическая машина могла бы перемножить два таких простых числа, получив произведение, состоящее из 250 цифр, примерно за 0,01 секунды. За одну секунду она могла бы перемножить два тысячезначных числа, и современные компьютеры легко могут улучшить это достижение. Лишь немногие исследователи эзотерических областей чистой математики интересуются перемножением столь непостижимо больших чисел, однако мы видим, что даже у них нет причины считать умножение неразрешимой задачей.

Напротив, разложение на множители — по сути, процесс, обратный умножению, — кажется гораздо сложнее. Вначале вводится одно число, скажем, 10 949 769 651 859. Задача заключается в том, чтобы найти два его множителя — меньших числа, произведение которых равно 10 949 769 651 859. Поскольку мы только что перемножили эти числа, мы знаем, что в данном случае ответ будет 4 220 851 и 2 594 209 (и поскольку оба эти числа простые, это единственный подходящий ответ). Но не располагая заранее такой подсказкой, как бы мы нашли эти множители? Если в поисках простого метода вы обратитесь к детским воспоминаниям, то это будет бесполезно, поскольку такого метода не существует.

Самый очевидный метод разложения на множители — делить вводимое число на все возможные множители, начиная с 2 и продолжая каждым нечётным числом, до тех пор, пока введённое число не разделится без остатка. По крайней мере, один из множителей (с учётом того, что введённое число не является простым) не может быть больше квадратного корня введённого числа, и это позволяет оценить, сколько времени может потребовать данный метод. В рассматриваемом случае наш компьютер найдёт меньший из двух множителей, 2 594 209, примерно за секунду с небольшим. Однако если исходное число будет в десять раз больше, а его квадратный корень примерно в три раза больше, то разложение его на множители по этому методу займёт в три раза больше времени. Другими словами, увеличение вводимого числа на один разряд уже утроит время обработки. Увеличение его ещё на один разряд снова утроит это время и т. д. Таким образом, время обработки будет увеличиваться в геометрической прогрессии, т. е. экспоненциально, с увеличением количества разрядов в раскладываемом на множители числе. Разложение на множители числа с 25-значными множителями по этому методу заняло бы все компьютеры на Земле на несколько веков.

Этот метод можно усовершенствовать, однако всем современным методам разложения числа на множители присуще это свойство экспоненциального роста. Самое большое число, которое было «в гневе» (а это было действительно так) разложено на множители, — число, сомножители которого тайно выбрали одни математики, чтобы бросить вызов другим математикам, — имело 129 цифр[38]. Разложение на множители выполнили с помощью сети Интернет глобальными совместными усилиями, в которых были задействованы тысячи компьютеров. Знаменитый специалист по алгоритмам Дональд Кнут[39] оценил, что разложение на множители 250-значного числа при использовании самых эффективных из известных методов, с помощью сети, состоящей из миллиона компьютеров, заняло бы более миллиона лет. Такие вещи трудно оценить, но даже если Кнут был чрезмерно пессимистичен, то нужно взять числа всего на несколько разрядов большие, и задача во много раз усложнится. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что разложение на множители больших чисел — труднорешаемая задача. Всё это очень сильно отличается от умножения, где, как мы видели, операцию с парой 250-значных чисел можно выполнить на домашнем компьютере. Никто не может даже представить себе, как можно разложить на множители числа, состоящие из тысячи или миллиона цифр.