опционами попросту невозможна. При этом выигрыш (доходы) одной стороны является проигрышем (потерями) для другой стороны.

Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), формируемые областью применительно к опциону «колл»

Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «колл» —.

Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), формируемые областью применительно к опциону «пут»

Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «пут» —.

Доходы от инвестирования премии по опционам «колл» и «пут» соответственно в безрисковый или другой актив

где — непрерывно начисляемая ставка доходности актива, в который инвестирована премия по опциону (при годовая ставка доходности актива может быть определена по формуле).

Математические ожидания доходностей опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени Т между покупкой опционов и моментом их исполнения.

Математическое ожидание доходности опциона «колл» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения:

для покупателя (математическое ожидание дохода —, потери —, математическое ожидание прибыли —)

для продавца (доход —, математическое ожидание потерь —, математическое ожидание прибыли)

Математическое ожидание доходности опциона «пут» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения:

для покупателя (математическое ожидание дохода —, потери —, математическое ожидание прибыли —)

для продавца (доход, математическое ожидание потерь —, математическое ожидание прибыли —)

Математическое ожидание капитальной доходности опционов «колл» и «пут».

Предположим, что европейский опцион «колл» приобретён в момент времени по цене, а опцион «пут» — по цене. Через промежуток относительного времени остаток срока действия опциона будет составлять, при этом стоимость опциона «колл» будет равна, а опциона «пут» —. Тогда при продаже опционов «колл» и «пут» до даты исполнения их математические ожидания капитальных доходностей будут определяться соответственно как

При отрицательной капитальной доходности продажа европейских опционов не имеет смысла.

Положительная капитальная доходность достигается в том случае, если по мере истечения срока действия опциона его стоимость не меняется или монотонно растёт, т. е. при или. Только в этом случае инвестор может принять решение о целесообразности продажи опционов.

Математические ожидания годовых доходностей опционов «пут» и «колл». Для сравнения инвестиционных качеств различных активов, в том числе и опционов с отличающимися сроками исполнения, удобно использовать математическое ожидание годовой доходности опциона, которую рассчитывают по формуле сложного процента. При известном промежутке относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения в формуле сложного процента количество периодов накопления за один год будет составлять. Тогда при математическом ожидании доходности опциона (которая может быть равной, или) за промежуток относительного времени, математические ожидания годовых доходностей опционов «пут» и «колл» могут быть рассчитаны с использованием формулы

В последующих материалах предложенная стохастическая модель используется как основа для оценки не только европейских, но и американских опционов.

10.5. Стохастическая модель американских опционов

Американские опционы, как и европейские опционы, могут быть исполнены по окончании срока действия опционного контракта. Поэтому стохастическая модель европейских опционов является составной частью стохастической модели американских опционов.

Но в отличие от европейских опционов американские опционы могут быть ещё и досрочно исполнены в любой день до даты исполнения. В то же время в [1, с. 658–659] отмечается (утверждается), что американский опцион бессмысленно исполнять до даты исполнения из — за потери временной стоимости. На основе лишь данного утверждения формулируется предположение об идентичности стоимости европейских и американских опционов и допустимости использования формулы Блэка — Шоулза для расчёта стоимости американских опционов.

Тем не менее, во — первых, возможная потеря временной стоимости не исключает досрочного исполнения американских опционов. Во — вторых, следует учитывать, что результаты расчётов временной стоимости опционов с использованием формулы Блэка — Шоулза не достоверны. Поэтому предположение об идентичности стоимости европейских и американских опционов должно быть более аргументированным.

Продажа или досрочное исполнение американских опционов оправданы при таком выбросе (скачке) текущей цены базисного актива, когда сомнительна целесообразность ожидания более выгодных результатов от:

продажи опциона в течение оставшегося его срока действия;

досрочного исполнения опциона в течение оставшегося его срока действия;

исполнения опциона по окончании его срока действия.

Для принятия обоснованных управленческих решений в условиях случайных колебаний рыночной стоимости базисного актива владелец опциона должен осуществлять соответствующие расчёты и руководствоваться заранее выработанными правилами анализа результатов этих расчётов с целью извлечения максимального дохода от рационального использования возможности продажи, досрочного исполнения или исполнения по окончании срока действия американских опционов. Разработка стохастической модели американских опционов должна быть направлена на выявление закономерностей, позволяющих принимать обоснованные управленческие решения по операциям с опционами.

При разработке стохастической модели американских опционов будем полагать, что цена исполнения опционов составляет, а текущие стоимости опционов «колл» и «пут» соответственно равны и.

Особенности продажи американских опционов.

Как уже отмечалось, американские опционы не будут продаваться дешевле их внутренней стоимости, т. е. при (для опциона «колл») или (для опциона «пут») торговля американскими опционами исключается. В противном случае у потенциального покупателя после приобретения опционного контракта возникает возможность немедленного исполнения опциона с целью получения безрискового дохода за счёт продавца, который будет вынужден продать базисный актив не по текущей рыночной цене, а по цене исполнения.

Следовательно, продажа американских опционов возможна только при выполнении условий

для опциона «колл»:

для опциона «пут»:

Следует подчеркнуть, что выполнение условий (10.25) и (10.26) не означает целесообразность продажи американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности.

Действительно, если условия (10.25) и (10.26) выполняются, но по мере истечения срока действия опциона его стоимость снижается и получаемый капитальный доход отрицателен, т. е. при или, продажа опциона не имеет смысла.

Кроме того, продажа опциона не оправдана, если условия (10.25) и (10.26) выполняются и получаемый капитальный доход от продажи положителен, но ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона.

Таким образом, продажа опциона оправдана, если выполняются условия

применительно к опциону «колл»:

применительно к опциону «пут»:

где и — математические ожидания доходов, которые генерируется по окончании сроков действия опционов «колл» и «пут» соответственно (см. п. 10.4); и — математические ожидания доходов от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия опционов «колл» и «пут» соответственно.

Кроме того, продажа опциона возможна при условии обоюдной выгоды, как для продавца, так и для покупателя.

Особенности досрочного исполнения американских опционов.

Очевидно, что при, (для опциона «колл») и (для опциона «пут») досрочное исполнение