* * *

У каждого из нас двое родителей, четверо бабушек-дедушек, восемь прародителей, 16 прапрародителей и т. д. С каждым переходом на поколение назад число предков по прямой линии удваивается. Аналогии с легендой о персидских шахматах очевидны. Допустим, поколения сменяются каждые 25 лет. Тогда 64 поколения укладываются в 64 × 25 = 1600 лет (столько лет назад Древний Рим приблизился к своему краху). Выходит, каждый из ныне живущих должен был иметь в 400 г. н. э. около 18,5 квинтиллиона предков (см. врезку)? Причем без учета родственников по боковым линиям. Но это намного больше всего населения Земли, тогдашнего и нынешнего, намного больше суммарного числа когда-либо живших людей. Где же ошибка? В предпосылке, что все наши прямые предки – разные люди. Разумеется, это не так. К одному и тому же предку восходит множество линий наследования. С каждым мы соединены многими пересекающимися родственными связями. По мере продвижения вглубь времен число пересечений становится огромным.

Это относится ко всему человечеству. Достаточно углубившись в прошлое, можно найти общего предка любых двух людей на Земле. Всякий раз, как избирается новый президент США, кто-нибудь – как правило, в Англии – непременно находит его родственные связи с британской королевой. Считается, что это объединяет носителей английского языка. У двух представителей одного народа или этноса или уроженцев достаточно изолированного региона, имеющих документированную генеалогию, найти общего предка не проблема. Но даже если следы его теряются в дали времен, он обязательно есть. Все мы родичи – абсолютно все, живущие на Земле.

* * *

Еще один яркий пример геометрической прогрессии связан с понятием так называемого периода полураспада. Радиоактивный «материнский» элемент, допустим, плутоний, распадается в дочерний элемент, обычно менее опасный. Это не моментальный процесс, он протекает во времени по определенному закону. Через известный промежуток – период полураспада – распадется половина атомов. Оставшиеся продолжат делиться, по прошествии еще одного такого же временного интервала половина их также распадется и т. д. Например, при периоде полураспада, равном году, половина имеющегося количества атомов распадется через год, половина оставшейся половины, или четверть исходного количества, – через два года, одна восьмая от начального числа – через три года, одна тысячная – через 10 лет и т. д. У каждого элемента свой период полураспада. Этот показатель приходится учитывать при решении проблемы хранения отработавшего топлива АЭС или при расчете радиоактивного заражения местности в ходе ядерной войны. Это пример экспоненциального уменьшения, противоположный представленному в персидской легенде экспоненциальному росту.

Радиоактивный распад лежит в основе основного метода археологической датировки. Если измерить содержание в образце двух радиоактивных материалов – материнского и дочернего, являющегося результатом его распада, – то можно оценить возраст образца. Благодаря этому методу мы узнали, что так называемая Туринская плащаница не погребальные пелены Христа, а поддельная реликвия XIV в. (когда она была обнародована церковными иерархами), что гоминиды устраивали стоянки с кострами миллионы лет назад, что самым древним ископаемым останкам живого существа, найденным на Земле, по меньшей мере 3,5 млрд лет, а самой Земле 4,6 млрд лет. Разумеется, космос еще на миллиарды лет старше. Если вы понимаете, что такое геометрическая прогрессия, многие тайны Вселенной открываются перед вами.

Зная лишь качественные характеристики какого-то явления, вы не двинетесь далее самого общего представления о нем. Количественная характеристика – определенный числовой параметр, отличающий его от бесчисленного множества других феноменов, – первый шаг к подлинному познанию. Вы начинаете постигать красоту этого явления, скрытые в нем возможности и закономерности. Боязнь цифр равносильна добровольному отказу от гражданских прав, поскольку вы сами себя лишаете одного из самых действенных инструментов постижения и изменения мира.

Это выше нас! Каждую осень в воскресенье и понедельник по вечерам мы бросаем все дела и смотрим, как 22 фигурки на экране бегают друг за другом, падают, толкаются и пинают овальный предмет, сшитый из звериной шкуры. Каждый новый поворот в игре ввергает как бегающих игроков, так и сидящих зрителей то в экстаз, то в отчаяние. По всей Америке люди (почти исключительно мужчины), прилипнув к экранам, в один голос вопят от восторга или бормочут проклятия. Со стороны это выглядит глупо. Но стоит заразиться этой болезнью, и она вас уже не отпустит – знаю по собственному опыту.

Спортсмены бегают, прыгают, наносят удары, обходят друг друга, кидают, отбивают и отбирают мяч. Наблюдая за людьми, проделывающими все это с таким совершенством, испытываешь трепет. Они борются и валят друг друга с ног. Все их силы и стремления направлены на то, чтобы схватить или отбить быстро движущийся коричневый или белый предмет. В одних играх они стремятся забить этим предметом так называемый «гол», в других убегают и возвращаются на «базу». Командная работа – залог успеха, и нас восхищает умение действовать вместе как единое целое.