у активов оба параметра неодинаковы и процесс их сопоставления усложняется. Это обусловлено тем, что в данном случае в качестве критерия сопоставления не могут быть использованы ни МО доходности, ни СКО доходности активов. При неопределённости критерия сопоставления понятия равноценные, недооцененные или переоцененные активы лишены разумного содержания.

Анализ результатов исследований в п.п. 7.1 и 7.2 показывает, что в качестве критериев сопоставления рискованных активов могут служить некоторые параметры нормального и усечённого нормального распределений дохода актива. Основным требованием к критерию сопоставления является функциональная зависимость, как от МО доходности, так и от СКО доходности актива. Для определённости назовём такой критерий «комплексным критерием сопоставления активов ». Такой приём обеспечивает «свёртку» двух потенциальных критериев сопоставления активов и в один комплексный критерий. Например, в качестве комплексного критерия сопоставления может быть использован коэффициент вариации доходности [4], вероятность отрицательной доходности [1, 4], вероятность превышения доходности некоторого установленного уровня и т. п. Выбор конкретного комплексного критерия сопоставления зависит от предпочтений инвестора.

В соответствии с принятым комплексным критерием сопоставления два актива и равноценны, если выполняется равенство

где и — математические ожидания доходностей активов и соответственно; и — средние квадратические отклонения доходностей активов и соответственно.

При фиксированном значении комплексного критерия сопоставления аналитическая зависимость представляет собой уравнение равноценных активов по уровню комплексного критерия сопоставления. Эта же зависимость, представленная в виде графика, является линией равноценных активов, которая в [1] названа кривой безразличия (см. п. 1.6).

Уравнение равноценных активов удобно использовать как инструмент выявления недооцененных и переоцененных активов. Например, актив недооценен, если при выполняется неравенство. Если же, то актив переоценен.

Таким образом, уравнение равноценных активов может быть использовано для сопоставления инвестиционных качеств портфелей активов и отдельных ценных бумаг.

В последующих материалах предлагаются технологии выявления равноценных активов по нескольким возможным комплексным критериям сопоставления, которые основаны на использовании параметров нормального и усечённого нормального распределений дохода актива.

8.2. Равноценные активы по уровню вероятности отрицательной доходности

В качестве комплексного критерия сопоставления активов в портфельной теории Г.Марковица — У.Шарпа используют вероятность отрицательной доходности (см. п. 1.3), т. е. Именно с использованием данного критерия [1, с.171] в портфельной теории сформулирован некорректный вывод о том, что актив с меньшим значением СКО доходности является менее рискованным и СКО доходности может служить в качестве меры риска.

Два актива и равноценны по уровням вероятностей отрицательной и положительной доходности, если выполняются равенства

где и — случайные значения доходов активов и соответственно; и — цены покупки активов и соответственно; и — минимальное и максимальное возможные значения величины дохода актива соответственно; и — минимальное и максимальное возможные значения величины дохода актива соответственно.

Очевидно, что при равенстве вероятностей отрицательной доходности активов и «автоматически» соблюдается и равенство вероятностей положительной доходности этих активов.

Выявление равноценных активов по уровню отрицательной доходности может быть осуществлено графическим методом, как поясняется на рис. 1.1.

Для решения этой же задачи численными методами воспользуемся соотношениями (7.14) и (7.15) и преобразуем условие равноценности активов по уровню вероятности отрицательной доходности к виду

где и — аргументы интеграла вероятностей для активов и соответственно.

Таким образом, в общем случае равноценными по вероятности отрицательной доходности является совокупность активов с равными значениями отношений

При фиксированном значении вероятности отрицательной доходности (или фиксированном аргументе интеграла вероятностей) зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности. Например, при и фиксированном значении вероятности отрицательной доходности интеграл вероятностей должен быть равным, что соответствует. Следовательно, равноценные активы располагаются на прямой, уравнение которой имеет вид.

В частном случае при нормальной плотности распределения доходов справедливо равенство. Тогда равноценными по уровню вероятности отрицательной доходности являются активы с одинаковыми значениями интегралов вероятностей, т. е. с равными аргументами интегралов вероятностей. Таким образом, при условие равноценности активов по уровню вероятности отрицательной доходности достигается при. При фиксированном значении вероятности отрицательной доходности (или фиксированном аргументе интеграла вероятностей) зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности.

На рис. 8.1 представлены графики зависимости, рассчитанные для нескольких значений вероятности отрицательной доходности применительно к нормальной плотности распределения доходов.

Рис. 8.1. Линии равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности применительно к нормальной плотности распределения доходов

Анализ рис. 8.1 показывает, что совокупность линий равноценных активов исходит из начала координат. Однако активов с параметрами и не существует, поэтому начало координат не является частью линии равноценных активов, а понятие равноценности не существующих активов с реальными активами лишено смысла.

Аргумент интеграла вероятностей является не чем иным как тангенсом угла наклона линии равноценных активов к оси абсцисс, причём, чем больше угол наклона, тем меньше вероятность отрицательной доходности. Данное свойство может быть использовано для выявления из достижимого множества портфеля с минимальным значением вероятности отрицательной доходности. На рис. 8.2 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности, которая является касательной в точке к эффективному множеству.

Рис. 8.2. Линия равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности, как касательная в точке к эффективному множеству

В результате расчётов установлено, что касательный портфель обладает минимальным значением вероятности отрицательной доходности из достижимого множества. Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем —. Касательный портфель с минимальным значением вероятности отрицательной доходности может представлять интерес для осторожного инвестора.

Вероятность отрицательной доходности может быть использована и как комплексный критерий сопоставления двух активов и когда один из них является эталоном (или ориентиром).

При нормальном распределении дохода, выражение (8.1) преобразуется к виду

где и — коэффициенты вариации доходностей активов и соответственно.

Очевидно, что это равенство выполняется, если коэффициенты вариации доходностей активов и равны

Представляет интерес преобразовать данное равенство к виду

Необходимо отметить, что для положительных значений МО доходностей активов и выражение (8.2) позволяет выявить равноценные активы по уровню МО дохода, для отрицательных — по уровню МО потерь.

Таким образом, МО доходности актива, равноценного с эталонным активом по уровню вероятности отрицательной доходности, имеет линейную зависимость от СКО доходности с коэффициентом пропорциональности.

Рассмотрим особенности рассмотренного критерия равноценности активов на примере, который обсуждается в п. 1.4. Пусть два сопоставляемых портфеля ценных бумаг и имеют параметры, которые сведены в табл. 8.1. МО и СКО доходностей портфелей и различны, но целенаправленно подобраны таким образом, чтобы их коэффициенты вариации и вероятности отрицательной доходности были равными.

Таблица 8.1

Параметры сопоставляемых портфелей и