Возьмем для примера обычную полоску бумаги. У нее есть верхняя и нижняя поверхность, а также два края по бокам. Напишите на ней сверху А, а снизу Б. Вы ничуть не сомневаетесь, что буквы находятся на разных сторонах полоски. Вы можете в этом поклясться и даже поспорить на крупную сумму. Но вот этого лучше не делать. Любой математик с легкостью докажет вам, что обе буквы находятся на одной стороне и что у этой полосы бумаги вообще только одна поверхность. Это делается так: один конец полоски поворачивается на 180 градусов и склеивается со вторым. У вас получился невозможный объект. Если вы из любой точки полоски проведете карандашом линию параллельно краю, то вернетесь к той же самой точке, не переворачивая полоску на другую сторону, причем карандашный след останется с обеих сторон ленты. Все потому, что у этой ленты на самом деле только одна сторона.

Рис. 10. Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса (названная так по имени математика Августа Фердинанда Мёбиуса, открывшего этот феномен в 1858 году) представляет собой «объект, замыкающийся сам на себя». Это значит, что вы держите в руке то, чего, вообще-то, не может существовать: двухмерный объект в трехмерном пространстве. Разумеется, математики давно описали и классифицировали этот феномен. Они называют его неориентируемой поверхностью, хотя неспециалисту это ни о чем не говорит и ничего не объясняет. Тем не менее это ничуть не умаляет чуда, сотворенного из обычной бумажной полоски. Особенно интересно, как наш мозг реагирует на «то, чего не может быть». Ведь в школе нас учили, что мы существуем в четырехмерном пространственно-временном континууме, в котором не может быть ничего двухмерного. Таким образом, существуют границы, за которыми наше мышление просто отказывает. Навигатор в мозге теряет связь со спутником, и мысли разбредаются в разных направлениях по неизведанной местности. Похоже, что в мозге предусмотрена некая аварийная программа для явлений, которые мы наблюдаем, но не можем осознать и объяснить. Это можно сказать, в частности, об оптических иллюзиях, которые нас одновременно завораживают и сбивают с толку, поскольку в них что-то «не сходится». Оптические иллюзии – это изображения, которые глаз способен воспринять, но мозг не в состоянии понять и объяснить. Такой обман восприятия основывается на самых разных эффектах: на остаточном изображении на сетчатке глаза, на отвлечении внимания, на контрасте и цвете, на свете и тени, на наших устоявшихся приемах получения зрительной информации. Во всех случаях зрение нас обманывает, что можно легко доказать, прибегнув к помощи других органов чувств. Взгляните на рисунок 11. Вам потребуется некоторое время, чтобы расшифровать текст. И дело тут не только в том, что он написан по-английски.

Рис. 11. Загадочная надпись

На рисунке 12, представляющем собой одновременно и оптическую иллюзию, и задачу по комбинаторике, мы имеем дело совершенно с другим явлением. Изображенные здесь знаки не являются буквами какого-то языка. Они понятны всем в мире, и вы их, конечно, тоже знаете. Вы видите их каждый день, пишете их, думаете о них, а время от времени и проклинаете. Но если так, вам не составит никакого труда дописать пятый знак из этого ряда.

Рис. 12. Странные знаки

Ответ (36)

Оптических иллюзий всякого рода очень много, потому что нет ничего легче, чем обмануть зрение. Но особый шик заключается в том, чтобы обмануть мозг. Взгляните на рисунок 13. Обе фигуры состоят из одних и тех же частей, но нижняя почему-то оказывается на целый квадратик больше. Как такое может быть? Мы не хотим, чтобы вы сломали себе мозг, поэтому сразу раскроем секрет. Несмотря на кажущуюся тождественность, острые углы треугольников, из которых состоит фигура, не одинаковы. Поэтому ее верхняя сторона в одном случае едва заметно изогнута вниз, а в другом – вверх. Образующаяся за счет этого разница площади и составляет тот самый квадратик.

Рис. 13. Задача с треугольниками

Голландский художник и график М. К. Эшер вдохновенно изображал миры, которых не может существовать. Он занимался не столько иллюзиями, сколько геометрической фантастикой. Он создал знаменитую бесконечную лестницу, рептилий, словно выползающих из плоскости рисунка и вновь скрывающихся в ней. Для его картин характерны невероятные метаморфозы и перспективы. В отличие от обычных оптических иллюзий, обманывающих систему зрительного восприятия, он с помощью своих картин обращался непосредственно к мозгу. Разумеется, в трехмерном пространстве невозможно построить лестницу, которая начинается там же, где и заканчивается. Но на двухмерном изображении это вполне возможно. Если же в качестве инструмента воспользоваться своими особенностями зрительного восприятия, мы будем, словно малые дети, неотрывно следить глазами за монахами, спускающимися и поднимающимися по этой лестнице.

Рис. 14. «Вверх и вниз по лестнице». М. К. Эшер. Литография. 1960 год

Вы можете своими руками создать подобную иллюзию для мозга и тем самым активизировать нейроны участников нудного совещания или вечеринки. Сложите квадратный лист бумаги пополам и сделайте на нем три прямых надреза ножницами, чтобы получить изображенную на рисунке фигуру, которая на первый взгляд кажется невозможной. Как это сделать? Учтите, что полностью разрезать, а потом склеивать бумагу нельзя.

Рис. 15. Невозможная фигура

Инструкция по изготовлению (37)

Когда мы что-то прикидываем на глазок, порой можно услышать такое выражение: «Пи, умноженное на длину большого пальца». Если число π мы еще худо-бедно знаем вплоть до четвертого-пятого знака после запятой, то большой палец у всех разный. И все же люди с учетом их ограниченных возможностей на удивление хорошо способны на глазок оценивать различные параметры. Если перед взрослым человеком положить деревянную рейку длиной с руку и попросить отметить середину, он в 90 процентах случаев сделает это с точностью до 2 сантиметров. Если дать ему пакет сахара, он почти всегда точно скажет, весит ли он больше или меньше 500 граммов. Мы достаточно хорошо определяем на глаз расстояния до 30 метров, можем примерно сказать, который сейчас час, и варим макароны, не глядя на секундомер. Эти способности можно развить с помощью тренировки. Опытный архитектор способен достаточно точно определить высоту здания, маляр навскидку скажет вам площадь стен в квартире, а лесник – объем сваленного дерева в кубометрах. Но речь здесь идет лишь о развитии функций выживания древнего человека на основании опыта. Во всех остальных случаях умножение π на большой палец приведет к неудаче.