Разумеется, мы ограничились тремя элементарными предложениями только из педагогических соображений, и этот способ может иметь широкое применение. Из всего вышеизложенного Витгенштейн вывел то, что он называет «общей формой предложения», которая представляет все пропозициональные (молекулярные) формы посредством логической символики:, в котором обозначает совокупность элементарных предложений, – совокупность предложений (элементарных или полученных из элементарных посредством операции N), а N() – результат выполнения операции инверсии по отношению к.

Таким образом, данная общая форма предложения, беря в расчет лишь форму предложений, предъявляет in nucleo все возможные пропозициональные формы; она является выражением правила знаков и в то же время показывает условия истинности каждого нового предложения. Другими словами, она позволяет a priori сконструировать форму из других форм с помощью единственной операции инверсии. В этом смысле, ничего не говоря об этих формах, она ограничивается тем, что показывает их.

Именно большой успех «Трактата» придал смысл главной идее, к которой нас подвело рассмотрение понятия образа, а именно – к тому, что логическая форма является невыразимой и может лишь показывать себя в соответствующей символике. Отсюда возникает вопрос: если можно показать пропозициональный знак через него самого, каковы условия истинности предложения?

На этом не заканчиваются выводы, вынесенные Витгенштейном из своего тезиса, согласно которому не следует признавать какие-либо логические константы. Теперь пришел черед обратиться к двум столбцам таблицы истинности. Эти столбцы демонстрируют странность, которая заключается в согласовании, выраженном соответствующими предложениями со всеми истинностными возможностями элементарных предложений (или ни с одной из них). Это означает, что данные предложения в действительности не имеют условий истинности, поскольку они либо всегда истинны (тавтология), либо всегда ложны (противоречие), независимо от того, что имеет место в действительности. Обычное предложение, наоборот, является истинным лишь при определенных условиях, с которыми оно согласуется, или ложным, если одно из этих условий не было выполнено. Между тем мы многократно настаивали на том, что смыслом предложения являются его условия истинности. Из этого непосредственно вытекает, что предложение, не имеющее условий истинности, – бессмысленно. Может показаться, что составленная нами таблица так же позволяет строить предложения, лишенные смысла, как и естественный язык…

Однако это не так, поскольку тавтология (или противоречие) лишена смысла не по причине невозможности существования видимо изображенного положения вещей, но из-за самих свойств истинностных функций.

Рассмотрим предложение (в привычном обозначении «p или q»):

Поставив p на место q, получим следующую небольшую таблицу:

А теперь заменим одну из двух p на ее отрицание:

Расположенная выше таблица истинности показывает форму предложения типа «идет дождь, или не идет дождь», которое всегда истинно в силу свойства функции, называемой дизъюнкцией, которая показана во второй и третьей строках таблицы. Обычное предложение, когда оно истинно, информирует нас о том, что имеет место в действительности, то есть что одно из его оснований истинности имеет место. Здесь же ситуация иная, поскольку тавтология хоть и является (всегда) истинной, однако совершенно ни о чем нас не информирует. Зато она выявляет свойство дизъюнкции, которое одновременно является формальным свойством мира, а именно – возможное положение вещей существует или не существует. Итак, можно сказать, что тавтология (как и противоречие) выявляет, по выражению Витгенштейна, «каркас мира» или «логику мира».

Где можно найти тавтологию? В логике. Логические законы, представленные в системах Фреге и Рассела, являются не более чем тавтологиями – именно благодаря этому выводу Витгенштейн снискал почет среди логиков в 1920-е годы.

Для понимания вышеизложенного достаточно вернуться к способу утверждения логических законов, выбранному этими великими учеными. Напомним, что логический закон должен обосновывать умозаключение. Как было упомянуто ранее, умозаключение не может быть правильным при наличии истинных посылок и ложного заключения. А теперь обратим внимание на одну из шестнадцати функций нашей таблицы истинности, на импликацию (→), которая обладает одним любопытным свойством: она ложна только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. Предположим, что основания истинности (молекулярного) предложения, φ, являются одновременно основаниями истинности другого предложения, ϕ, или, другими словами, предположим, что ϕ согласуется со (по крайней мере) всеми возможностями истинности, с которыми согласуется φ. В этом случае импликация φ → ϕ будет всегда истинной. Если же мы будем считать φ посылкой умозаключения, а ϕ – выводом того же умозаключения, то также сможем назвать данное умозаключение правильным, поскольку всякий раз, когда φ истинно, ϕ тоже является таковым. Иначе говоря, умозаключение является правильным тогда, и только тогда, когда импликация, антецедентом которой является конъюнкция посылок, а консеквентом – вывод умозаключения, всегда истинна. Приведем пример.

Положим, первой посылкой будет предложение «если идет дождь, то Элен грустит». Как отмечалось выше, это предложение является истинным в трех случаях: «если идет дождь и Элен грустит» или «если не идет дождь и Элен грустит», или, наконец, «если не идет дождь и Элен не грустит». Прибавим вторую посылку «идет дождь», которая истинна лишь тогда, когда идет дождь (!). Если предположить, что обе посылки истинны, то исключаются оба последних основания истинности первой посылки; остается лишь возможность того, что идет дождь и что Элен грустит. Следовательно, мы можем вывести из двух посылок «если идет дождь, Элен грустит» и «идет дождь» закономерное заключение – «Элен грустит».

Теперь обозначим «идет дождь» буквой p, а «Элен грустит» буквой q и образуем молекулярное предложение: [(p → q) ˄p] → q (это предложение сложновыразимо на нашем обычном языке!). В силу условий истинности импликации, о которых упоминалось выше, это предложение ложно, только если (p → q) ˄ p истинно, а q ложно; однако в силу условий истинности конъюнкции (p → q) ˄ p истинно, только если p → q истинно и p истинно, и опять-таки в силу условий истинности импликации это возможно, только если q истинно; иначе p → q было бы ложно, вопреки предположениям. Следовательно, невозможно, чтобы [(p → q) ˄ p]→ q являлось ложным. Это закон логики.