До сих пор мы рассматривали только движение точки М под действием вращений третьей и четвертой сферы. Но сейчас мы должны вспомнить, что ось АВ обращается вокруг эклиптики в течение сидерического периода планеты. Во время этого движения продольная ось лемнискаты всегда совпадает с эклиптикой, по которой кривая движется с одинаковой скоростью. Поэтому для третьей и четвертой сферы мы можем заменить лемнискату, по которой планета движется вышеописанным образом. Сочетание этого движения с движением кривой по эклиптике дает видимое движение планеты через созвездия. Движение планеты по лемнискате состоит в колебании вперед и назад, причем период равен синодическому периоду обращения, и в первой половине этого периода движение планеты по эклиптике ускоряется, а во второй половине – замедляется, когда два движения совершаются в противоположных направлениях. Поэтому, когда на дуге лемнискаты обратное колебание происходит быстрее, чем одновременное движение вперед самой лемнискаты, планета какое-то время движется в обратную сторону, до и после чего она некоторое время находится в неподвижном состоянии, пока оба движения уравновешивают друг друга. Очевидно, что наибольшее ускорение и наибольшее замедление имеют место, когда планета проходит через двойную точку лемнискаты. Таким образом, движения должны быть настолько сложны, что планета проходит через эту точку при поступательном движении во время верхнего соединения с Солнцем, где видимая скорость планеты по долготе наибольшая, тогда как она снова должна быть в двойной точке, но двигаться в обратном направлении во время противостояния или нижнего соединения, когда видимая скорость планеты при попятном движении максимальна. Такое сочетание движений, конечно, должно сопровождаться определенной долей движения по широте в зависимости от ширины лемнискаты.

Эту кривую греки называли гиппопедой (ἵππου πέδδη), потому что это было излюбленное упражнение в школе верховой езды – заставить галопирующую лошадь описывать такую фигуру, и Симпликий в своем изложении планетарной теории Евдокса прямо говорит, что планета описывает кривую, которую Евдокс именует гиппопедой. Это слово встречается несколько раз в комментарии Прокла к первой книге Евклида, где описываются плоские сечения твердого тела, полученные обращением круга вокруг прямой линии в его плоскости, при условии, что линия не пересекает круга. Сечение, образованное плоскостью, параллельной этой линии и касающейся внутренней поверхности тора, Прокл называет гиппопедой, и, следовательно, мы имеем доказательство, что Евдокс и его последователи имели четкое представление о свойствах кривой, получающейся в результате движения третьей и четвертой сферы. О кривой и ее применении говорит Теон Смирнский (с. 328), описывая астрономическую теорию платоника Деркиллида: «Он полагает, что в спиральных линиях и тех, что похожи на конные упражнения, не надо видеть причину блужданий планет, так как эти линии получаются случайно[87], однако главная причина блужданий и спиралей заключается в наклонном движении по зодиакальному кругу». Далее Теон говорит о видимой спирали, которую описывает планета, в духе платоновского «Тимея»; но отвергаемое Деркиллидом мнение – это, вне всяких сомнений, именно то движение по лемнискате, которое изобрел Евдокс.

Если теперь мы спросим, насколько эту теорию можно согласовать с реально наблюдаемыми движениями светил, то нам прежде всего нужно вспомнить, что мы не знаем, производил ли Евдокс какие-либо наблюдения с целью установить величину ретроградных движений, или ему просто было известно, что такие движения существуют, хоть он и не располагал никакими соответствующими числовыми данными. Чтобы проверить теорию, нам требуется знать сидерический период, синодический период и расстояние между полюсами третьей и четвертой сферы, которое Скиапарелли называет наклонением. Величину этого расстояния, определенную Евдоксом для каждой планеты, не указывает ни Аристотель, ни Симпликий, а периоды приводит лишь Симпликий в округленных числах (с. 496):

За исключением Марса, эти цифры показывают, что обращения планет наблюдались довольно внимательно, и Евдокс, возможно, даже имел несколько более точные данные, так как Папирус Евдокса приводит синодический период обращения Меркурия, равный 116 дням, и это на удивление точное значение. Скорее всего, Евдокс получил его во время пребывания в Египте[88]. Если бы мы только знали наклонение, на которое опираются размеры гиппопеды, то мы смогли бы полностью восстановить все планетные теории Евдокса. Поскольку основной целью системы, разумеется, было объяснение ретроградных движений светил, Скиапарелли предположил для трех внешних планет, что величина наклонений выбрана таким образом, чтобы согласовать ретроградные дуги с наблюдаемыми. Ретроградная дуга Сатурна составляет около 6°, и с зодиакальным периодом 30 лет, синодическим периодом 13 месяцев, а также наклонением 6° между осями третьей и четвертой сферы длина гиппопеды становится 12°, а половина ее ширины, то есть наибольшее отклонение планеты от эклиптики, оказывается 9°, что было незаметно для наблюдения в те дни. Таким образом мы получаем просто ретроградное движение по долготе около 6° между двумя неподвижными точками. Точно так же, если допустить для Юпитера наклонение 13°, то длина гиппопеды становится 26°, а половина ее ширины – 44°, и с периодами 12 лет и 13 месяцев соответственно это дает ретроградную дугу около 8°. Наибольшее расстояние от эклиптики при движении по этой дуге – 44′, вероятно, в те времена было практически незаметно. Следовательно, для этих двух планет Евдокс нашел отличное решение задачи, предложенной Платоном, даже если предположить, что он знал точные длины ретроградных дуг.

Однако не так обстоит дело с Марсом, чему, по правде говоря, не следует удивляться, если вспомнить, что даже Кеплер долгое время не мог создать удовлетворительной теории для этой планеты. Не так легко понять, откуда Евдокс взял синодический период, равный 8 месяцам 20 дням (или 260 дням), в то время как на самом деле он составляет 780 дней, или ровно в три раза больше. Во всех редакциях Симпликия содержатся те же цифры, и поэтому гипотеза Ид ел ера о том, что вместо 8 месяцев следует читать 25 месяцев, представляется необоснованной, к тому же она ни в малейшей степени не проясняет дело. Ибо при синодическом периоде в 780 дней и наклонении 90° (максимальная величина, согласующаяся с описанием у Симпликия) ширина гиппопеды оказывается 60°, то есть Марс должен достигать широты 30°. Но и при этом попятное движение Марса по гиппопеде не может по скорости приблизиться к его прямому движению по зодиаку, то есть Марс вовсе не должен двигаться в обратную сторону, а лишь чрезвычайно замедлять скорость во время противостояния. Чтобы получить ретроградное движение, наклонение должно быть больше 90°; другими словами, третья и четвертая сфера должны вращаться в том же направлении. И даже это нарушение правила не имело бы никакого смысла, ведь Марс в таком случае достигал бы широт выше 30°, и Евдокс, безусловно, не был готов этого признать. С другой стороны, если принять ту величину синодического периода, которую указывает он сам, то есть 260 дней, то движение Марса по гиппопеде становится почти в три раза больше, чем раньше, и при наклонении 34° ретроградная дуга приобретает длину 16° и максимальную ширину около 5°. Такие данные находятся в удовлетворительном соответствии с реальными фактами, но, к сожалению, эта гипотеза содержит два ретроградных движения вне противостояний и четыре дополнительные точки стояния, которых в действительности не существует. Таким образом, теория Евдокса в случае Марса оказывается полностью провальной.