Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойств. Так, он имеет всего лишь одну сторону. Чтобы убедиться в этом, проделаем такой мысленный эксперимент. Представим себе сделанный из прочного материала и расположенный в невесомости лист Мёбиуса, поставим на него человека и попросим этого человека прогуляться. Можно выбрать такой маршрут, что в какой-то момент прогулки человек окажется в положении антипода по отношению к тому положению, какое он имел в исходный момент. Ясно, что ни для боковой поверхности цилиндра, ни для плоскости, ни для сферы такая прогулка невозможна. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с листом Мёбиуса не удастся. И плоскость, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние. Лист же Мёбиуса является односторонней поверхностью.

Другое свойство листа Мёбиуса особенно важно для целей нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости. Лист Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на листе изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая, — это зависит от того, с какой стороны посмотреть. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова «сторона»: лист Мёбиуса в целом односторонен, но тот малый его участок, на котором изображена ладонь, двусторонен, и гуляющий по этому участку не может стать своим антиподом.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно совершить такое передвижение силуэта ладони по листу Мёбиуса, при котором этот силуэт вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность такого передвижения и означает неориентируемость. Каждый может проверить наличие указанной возможности; для наглядности полезно представлять себе лист Мёбиуса изготовленным из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Снова прибегнем к методу аналогии и перенесёмся из двумерного мира в трёхмерный. Очень трудно представить себе трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, то есть такой, внутри которой возможна траектория, приводящая к зеркальному отражению. В нашем обычном трёхмерном пространстве такие фигуры не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в «обычном» (то есть евклидовом) четырёхмерном пространстве — подобно тому, как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (умещающийся в трёхмерном пространстве лист Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях — ведь и двумерный лист Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела хорошо себя чувствуют в пятимерном евклидовом пространстве.

Итак, неориентируемая поверхность — это поверхность, перемещая по которой силуэт правой ладони можно (без выхода за пределы поверхности!) превратить его в силуэт левой ладони. Лист Мёбиуса — самая известная и самая простая из неориентируемых поверхностей. Из других наиболее известна так называемая бутылка Клейна, названная по имени знаменитого немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 году. Представим себе бутылку с очень длинным и очень гибким горлышком. Толщиной материала, из которого изготовлена бутылка, мы пренебрегаем, так что бутылку воспринимаем как двумерную фигуру, то есть как поверхность. Можно ли изогнуть горлышко так, чтобы дотронуться им до дна бутылки? Разумеется, можно; прикосновение при этом произойдёт с наружной стороны дна. Коснуться же горлышком дна изнутри бутылки невозможно, для этого горлышку пришлось бы пройти сквозь стенку. Но вот если бы это удалось, как раз и получилась бы бутылка Клейна.

Так зачем же говорить о такой поверхности, которой нет и не может быть, возмутится читатель. А дело в том, что такая поверхность есть, только «живёт» она в четырёхмерном пространстве. Чтобы понять, как можно изготовить бутылку Клейна при помощи четвёртого измерения, следует вновь обратиться к флатландской аналогии. Обычная бутылка есть двумерная поверхность в трёхмерном пространстве. Что является её аналогом на плоскости? Тень бутылки? Нет, аналог должен быть на одно измерение меньше окружающего пространства, то есть в данном случае одномерным. Обведём карандашом контур тени, сделав в этом обводе перерыв на месте отверстия горлышка. Полученная линия и является искомым одномерным аналогом двумерной бутылки. Представим себе эту линию в виде тонкой и гибкой проволоки. У этой проволочной фигуры можно выделить дно, горлышко и две стенки. Можно ли, не выходя за пределы плоскости, изогнуть горлышко так, чтобы коснуться им дна? Разумеется, можно, но только с наружной стороны; коснуться с внутренней стороны (то есть со стороны тени) невозможно, для этого пришлось бы пересечь одну из стенок. Однако можно коснуться и с внутренней стороны, если разрешить выход за пределы плоскости: в том месте, где проволочное горлышко хочет пересечь проволочную стенку, надо приподнять горлышко над плоскостью, провести его над стенкой наподобие моста, а затем снова опустить на ту же плоскость — но уже внутри бутылки. И дотянуть горлышко до дна. А теперь, напрягая воображение и прибегая к аналогии, можно постараться представить себе изгибание горлышка двумерной бутылки в четвёртом измерении — с последующим касанием дна изнутри.

И евклидово пространство средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший: