счетными бирками. Уложенные рядом на земле одна параллельно другой или в комбинации, они в сумме составляли число.

Прописные китайские цифры появились к VII веку (к эпохе династии Тан) с развитием торговли и совершенствованием системы записей, связанных с торговыми сделками.

Несколько тысяч лет назад в Китае уже знали таблицу умножения. Среди памятников материальной и духовной культуры, обнаруженных в пещерных хранилищах Дуньхуана в провинции Ганьсу, были найдены, в частности, и бамбуковые планки с таблицей квадратов простых чисел.

Попробуем, пользуясь этими приемами древней китайской математики, умножить, скажем, 81 на 81.

Берем бирки множимого 81 и помещаем их в первый ряд. Бирки множителя кладем в нижний ряд. Для числа, полученного в результате умножения (произведения), оставляем средний ряд.

Перемножив вначале 80 и 81 и получив 80х81 = 80х80+80х1 = 6 480, сотрем из числа множимого из верхнего ряда 80. Останется 1. А произведение 6 480 поместим в средний ряд.

Теперь перемножим 1 и 81. Получаем 1х81=81. Теперь, когда мы перемножили верхний и нижний ряды, бирки убираем, и у нас остается в среднем ряду результат нашего умножения ? произведение 6561.

В эпоху династии Чжоу (1122 — 247 годы до н. э.) искусство счета наряду с чтением входило уже в программу школьного обучения. Свое широкое развитие математическая наука в Китае получила вслед за развитием общественного хозяйства, в связи с запросами этого хозяйства. О развитии геометрии в древнем Китае свидетельствует книга эпохи Чжаньго «Мо-цзы»[53], в которой, например, относительно построения (с помощью циркуля и угломера) и определения окружности и квадрата говорится, что расстояние от центра сферы до любой ее точки одинаково и что все углы квадрата прямые. В эпоху Ханьской династии математика выделяется в самостоятельную научную дисциплину; математике обучают детей, начиная с восьмилетнего возраста. Около I века нашей эры в Китае имелись уже два великих труда «Математический канон о чжоу-би» («Чжоу-би суань цзин») [54] и «Искусство счета в девяти главах» («Цзю чжан суань шу»), обобщившие достижения математической мысли в Китае в период до н. э.

Книга «Чжоу-би суань цзин» появилась между I веком до н. э. и I веком н. э. ? в конце династии Западная Хань. Существует также точка зрения, относящая этот труд к периоду, предшествовавшему эпохе Чжаньго. Эта книга о небесных телах, составленная, как говорят, на основе бесед чжоуского князя с ученым-математиком Шан Гао (жившем в начале эпохи Чжоу, около 1 100 года до н. э.), а также бесед неких Жун Фана и Чэнь-цзы (живших в эпоху Чуньцю около VIII–V веков до н. э.).

Одним из важнейших достижений геометрии в Китае явился закон о гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника. Об этом законе, устанавливающем взаимоотношение сторон прямоугольного треугольника, упоминается в беседе Чжоу-гуна [55] с математиком Шан Гао. Речь идет о том, что если надломить чи[56] под прямым углом и если длина одного конца (катета) будет равна 4, а другого 3, то кратчайшее расстояние между ними по прямой (гипотенуза) будет равно 5. Если записать эту взаимозависимость сторон в виде современной формулы, то получится:

а2 + Ь2 = с2 или, что равнозначно, V---(a?+b?)=c 

Практическое применение этот метод вычисления нашел в [55]землемерной практике, в вычислениях, связанных с определением высоты и т. д. В той же беседе Жун Фана с Чэнь-цзы объясняется, как вычислить высоту положения Солнца по длине тени, отбрасываемой вертикально установленным шестом, с помощью «метода гоу-гу» (то есть «метода катетов»).

Греческий математик Эвклид (330–275 годы до н. э.) называет теорему о взаимозависимости сторон прямоугольного треугольника теоремой Пифагора, жившего, как известно, в пятисотых годах до н. э.

Хотя точно установить время доказательства этой теоремы в Китае сейчас невозможно, хотя мы и не можем теперь проверить, действительно ли легендарный Юй, основавший первую китайскую династию Ся, уже применял эту теорему в своих вычислениях, когда он обуздывал реки, ? но ко времени жизни Шан Гао, Жун Фана и Чэнь-цзы, то есть задолго до Пифагора и Эвклида, ее в Китае, как видите, уже знали и применяли на практике.

Для вычисления площади круга или — сугубо практическая задача ?для вычисления объема цилиндрической меры зерна нужно знать отношение длины окружности к диаметру, то есть трансцендентное число ?. Если обозначить радиус через r, высоту цилиндра через h, то площадь круга можно записать формулой ?r?, а объем цилиндрической меры для жидких и сыпучих тел h?r?. Нужды практических расчетов с окружностями и круглыми телами уже в глубокой древности привели китайских математиков к поискам приближений для к с помощью рациональных чисел.

В «Чжоу-би суань цзин» говорится, что длина окружности относится к ее диаметру, как 3 относится к 1, что соответствует приближенному значению ? = 3.

В конце династии Западная Хань (206 год до н. э. — 25 год н. э.) Лю Синь получил для ? приближение 3,154, а Чжан Хэн в эпоху династии Восточная Хань (25—220 годы) вычислил его как 3,16.

В III веке, в период Троецарствия, математик Лю Хуэй (родился около 263 года) дал для ?, пользуясь методом последовательного удвоения числа сторон вписанного в окружность правильного шестиугольника, приближение 3,14. Лю Хуэй остановился на правильном 96-угольнике. Высчитав длину сторон в 6,282 048 при радиусе в 1, Лю Хуэй дал для ? приближение с шестью десятичными знаками — 3,141 024. Отбросив четыре последних знака, он оставил приближение 3,14. Последовательное удвоение сторон вписанного в окружность правильного многоугольника приближало сумму его сторон в виде длины ломаной линии к длине окружности.

Сравните это положение с теоремой современной геометрии, доказывающей, что сумма сторон вписанного в окружность правильного многоугольника при бесконечном их (сторон) удвоении стремится к длине окружности.

Через двести лет после Лю Хуэя, Цзу Чун-чжи (429–500 годы) получил для ? еще более точное приближение. Метод Цзу Чун-чжи, описанный в его труде «Чжуй-шу», к сожалению, остался неизвестным. Книга была утеряна еще в эпоху Северной Сунской династии (960—1 127 годы), однако принято считать, что он применил метод Лю Хуэя, заключавшийся в удвоении сторон вписанного в окружность правильного многоугольника. Вычислив сумму сторон 12 288-угольника и 24 576-угольника, он получил отношение длины окружности к диаметру, лежащее в пределах 3,1415926 <?< 3,1415927. Он дал два приближенных значения числа

?=22/7=22/7 (приближенное)

и

?=355/113 (более точное).

Это последнее,