Рис. 6.35 / Задача 6.98. Узоры света, образованные: а) чашкой кофе в лучах солнца, б) маленькой каплей воды возле вашего глаза и в) большой каплей воды.

Большое количество разнообразных каустик получается при прохождении луча лазера через гофрированный или рифленый кусок пластика наподобие тех, которые используют в качестве абажуров для офисных люминесцентных ламп. Двигая кусок пластика под музыку, можно даже устроить миниатюрное лазерное шоу. Можно использовать и гладкий кусок пластика, если на него накапать прозрачный клей. Двигающиеся каустики также возникают на дне плавательного бассейна, когда солнце освещает рябь на поверхности воды, и вообще на мелководье.

Самые необычные каустики можно увидеть, посмотрев ночью через каплю воды на уличный фонарь. Если вы носите очки, это может быть капля на стеклах очков или на оконном стекле, но тогда подойдите к окну поближе и встаньте так, чтобы ваши глаза были совсем рядом с ней. Если капля маленькая, будет видно пятно, ограниченное яркими пересекающимися вогнутыми кривыми с выступающими остриями (рис. 6.35б). Если капля побольше и подрагивает на стекле, снизу картина будет почти такой же, как в случае маленькой капли, но сверху пятно ограничено яркой выгнутой наружу кривой (рис. 6.35в). Прямо под ней видны звездочки. Их можно заставить «танцевать», осторожно пошевелив каплю. Если удастся повернуть каплю относительно линии прямой видимости фонаря, острый выступ, который сначала был снизу пятна, сожмется, а затем сместится внутрь его и превратится в звездочку.

Почему при столь разных условиях образуются подобные картины? Можно ли выделить в них основные элементы?

ОТВЕТ • Двумя основными элементами каустик являются складки (изогнутые линии) и острия (пересечения двух складок). Мы обсуждаем пример из оптики, но складки и острия — основные элементы более общей математической теории, которая называется теорией катастроф. Они появляются из-за того, что при отражении или преломлении на поверхностях (поверхности бокала с вином, волнующейся воды и т. д.) световые лучи собираются в пучок. Свет, концентрируясь, образует яркие линии. Точнее: из-за концентрации света в воздухе образуется трехмерная поверхность, на которой резко возрастает интенсивность света. Если поместить в это место в пространстве рассеивающую поверхность — экран, то мы увидим линию — двумерное сечение этой поверхности.

Трехмерные поверхности бывают трех видов, у каждой из них есть сингулярность (особенность). Каустика в сечении, проходящем через сингулярность, наиболее компактна. Когда сечение не проходит через сингулярность, говорят, что структура не разворачивается.

Солнечный свет, отражаясь от окна здания на стену, может давать изображение, в общем виде повторяющее форму окна, но с искривленными краями, которые представляют собой складки каустики. Складки могут быть вогнутыми и выгнутыми в зависимости от того, вогнуто ли стекло внутрь или выгнуто наружу. Когда окно выгнуто наружу, отражение представляет собой овал; когда окно вогнуто, появляется яркий крест. Окно с двойными стеклами, одно из которых вогнуто, а другое выгнуто, может привести к появлению отражений обоих типов.

Когда пойдете принимать ванну, прихватите с собой карандаш и, осветив его сверху фонариком, проследите за его тенью на дне ванны. Если держать карандаш над водой или погрузить его в воду целиком, тень на дне будет напоминать карандаш. Однако если опустить в воду только часть карандаша и держать его под углом к поверхности, тень становится похожа на два стержня с закругленными концами, напоминающие сосиски. Стержни разделены светлой полоской (рис. 6.36a). Почему тень имеет такую форму? По-английски это называется sausage-shadow effect, что можно перевести как эффект сосисочной тени.

Рис. 6.36 / Задача 6.99. Тени от карандаша (a) и лезвия бритвы (б) в мелкой воде. в) Кривизна поверхности воды вблизи предмета фокусирует световые лучи, что приводит к появлению яркой полосы по краю тени.

Опустим осторожно обычное двустороннее лезвие для бритвы на поверхность воды. Если глубина воды всего несколько сантиметров, края тени бритвы обычные. Почему, если вода глубже, по краю тени появляется яркая полоса (рис. 6.36б)? Будут ли края яркими, если бритву слегка приподнять над уровнем воды?

Почему тень от плавающего волоса часто представляет собой цепочку, состоящую из участков с обычными и яркими краями?

Наполним ванну водой глубиной по крайней мере шесть сантиметров и проведем по ее поверхности пальцем или карандашом. Почему на дне остаются темные подрагивающие круги с яркими краями? Человек, плывущий или вылезающий из освещенного солнцем бассейна, отбрасывает похожую тень.

ОТВЕТ • Эффект сосисочной тени связан с поверхностным натяжением (взаимным притяжением молекул воды друг к другу и к карандашу), в результате чего вода несколько поднимается вверх по поверхности карандаша, а поверхность воды вблизи карандаша становится вогнутой. Свет, прошедший через искривленную поверхность воды около карандаша, частично попадает на отбрасываемую им тень, создавая яркую полосу между тенями от погруженной в воду и оставшейся над водой частями карандаша.

Вес бритвы вдавливает поверхность воды под ней, а по краям бритвы поверхность воды выпуклая. Свет, проходящий через искривленную поверхность, фокусируется, но, если воды слишком мало, лучи света достигают дна до того, как сойдутся в фокусе, и поэтому края тени выглядят обычно. Когда вода глубже, световые лучи фокусируются на краю тени, образуя яркую полоску (рис. 6.36в). Если чуть-чуть приподнять бритву над водой, вода тянется вслед за бритвой, и ее поверхность становится вогнутой. Такая поверхность рассеивает свет в область тени без фокусировки, и, следовательно, края тени выглядят как обычно.

Тень от плавающего волоса может напоминать связку сосисок, причем края тени могут быть и обычными, и яркими в зависимости от того, как искривляется поверхность воды на протяжении длины волоса.

Если двигать в воде какой-нибудь предмет, за ним на поверхности воды остаются воронкообразные вихри. В глубине вихревой воронки поверхность воды вогнутая. Свет от такой поверхности расходится в разные стороны, и на дне, куда поступает мало света, образуется темный круг. Вблизи горлышка воронки поверхность воды выпуклая. Прошедшие через нее световые лучи фокусируются по краю тени, и граница тени становится яркой. Если вода достаточно глубокая, на границе образуется яркая полоса, причем ее внешний и внутренний край особенно яркие.

В 1983 году Энтони Хьюиш[80] во время полета заметил идущие вдоль крыла самолета две полосы, темную и светлую (рис. 6.37a). Ширина этих полос, которые не слишком контрастировали с освещенной солнцем поверхностью крыла, была от 1 до 2 см. Угловая высота солнца относительно края крыла была порядка 25°. Больше часа он наблюдал за этими полосами. Затем, когда самолет стал снижаться, полосы начали сдвигаться к передней кромке крыла, а потом вообще исчезли.