Оба приведённых примера позволяют вывести эмпирическое правило, которое считается одним из важнейших правил, подаренных математикой человечеству: если положить в банк капитал под определённый процент, то, для того чтобы узнать, через сколько лет капитал удвоится, достаточно разделить число 70 на величину годовой процентной ставки. Сделав это, можно будет точно узнать, когда именно это произойдёт.

Все дело в удвоении, ибо, как уже было сказано, вычисление процентов опирается на умножение.

Вот пример. Допустим, что святой Иосиф, муж Марии, по случаю рождения Христа кладет на счет маленького Иисуса в Вифлеемский банк 1 евро под 3,5 процента годовых. По прошествии 70: 3,5 = 20 лет вклад удвоился, и один евро превратился в два. Когда пройдет двести лет, вклад удвоится десять раз. Так как 210 = 1024, можно сказать, что вклад увеличился тысячекратно, то есть один евро практически превратился в тысячу. Таким образом, через 200 лет к одному евро стало можно приписать три нуля. Сегодня же, более чем 2000 лет спустя, к одному евро надо приписать десять раз по три нуля. Наследники Иисуса могли бы сегодня получить в Вифлеемском банке 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 евро, то есть один нониллион евро.

Эта нелегкая задачка благополучно разрешилась не только потому, что у Иисуса не было наследников.

Дело облегчается в еще большей степени, хотя не совсем, и тем, что Вифлеемский банк не продержался бы 2000 лет. Однако есть и примеры удивительного долголетия этих учреждений. Сиенский банк «Монте ди Пьета», о котором мы упомянули в нашей истории, существует по сей день. Этот банк был основан в 1492 г., а в 1624-м был переименован в «Монте деи паски ди Сиена». Это старейший из всех ныне существующих банков в мире.

В большей мере эта задачка разрешается благодаря тому, что в ту эпоху, во время рождения Христа, не было евро, а платежи осуществляли в сестерциях, то есть в валюте, которой сегодня не существует. Тех денег, которые сменяли сестерций на протяжении истории до наших дней, а именно талеров, флоринов, гульденов, сегодня тоже нет. Их уничтожили войны и кризисы, инфляции и денежные реформы.

Когда числа становятся невообразимыми, с ними перестает справляться даже экономика.

С изобретением степеней математика получила в свое распоряжение очень мощный инструмент обозначения чисел, которые немыслимо получать с помощью умножения, не говоря уже о сложении. Дело в том, что степень тоже можно возвести в степень, получив так называемую степенную башню, например

54³

Для начала надо заметить, что существует два способа прочтения этой степенной башни. При первом из них сначала возводят пять в четвертую степень и получают 625, а затем это число возводят в третью степень, то есть 625³ = 244 140 625. В этом случае результат представляют как

(54)³ = 625³ = 244 140 625.

Другой способ представления этого числа заключается в том, что сначала вычисляют выражение 4³, равное 64, а затем возводят в 64-ю степень число 5, то есть вычисляют величину степени 564. Это число, начинающееся с цифр 5421… и содержащее 45 разрядов. В этом случае со степенной башней поступают так:

5(4³) =

= 542 101 086 242 752 217 003 726 400 434 970 855 712 890 625.

Если степенную башню пишут без скобок, то имеют в виду второе из упомянутых выше прочтений. Другими словами, со степенями «работают» справа налево и сверху вниз. Так договорились делать не только потому, что такое прочтение при вычислении приводит к большему результату, а прежде всего потому, что первое прочтение, вообще говоря, не требует написания степеней в виде башни. В самом деле, например, выражение

(54)³ = 54 × 54 × 54 = 54 + 4 + 4 = 54 × 3

в точности соответствует старому школьному правилу: для того чтобы возвести в степень число, выраженное степенью, надо перемножить показатели степени.

Самое большое число, которое можно записать всего тремя цифрами, выглядит так:

Это степенная башня, состоящая из трех девяток. Это число начинается с 4281… и содержит 369 693 100 разрядов.

Профессор информатики Стэнфордского университета Дональд Кнут заменил придуманный Брадвардином способ записи степеней новой символикой, которая лучше подходит для программирования, выполняемого обычным текстом. Например, степень 3² Кнут предложил записывать так: 3↑2. Вертикальная стрелка словно заменяет команду считать следующее число показателем степени. Таким же способом, как открыл Кнут, можно сокращенно записывать и степенные башни. Например, символами 3↑↑2 записывают степенную башню, состоящую из двух чисел 3. Это означает 3↑↑2 = 3↑3 = 3³ = 27. Здесь пока не заметно ничего особенного, но хитрость таится в самой записи двух вертикальных стрелок! Ибо 3↑↑3 — это уже степенная башня, состоящая из трех троек, то есть

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 33³ = 327 = 7 625 597 484 987,

а 3↑↑4 — это степенная башня, состоящая из четырех троек, то есть

Этот числовой великан начинается с 1258… и содержит 3 638 334 640 025 разрядов, то есть он больше числа, записанного в виде степенной башни из трех девяток, которая с помощью метода Кнута записывается так: 9↑↑3.

Мало того, Кнут расширил свое обозначение еще на один шаг. Если он помещал между двумя числами три вертикальные стрелки, то число, стоящее справа от тройной стрелки, говорило, сколько раз надо было записать число, стоящее слева, и поставить между ними двойные стрелки. В этом случае с записью Кнута работают, как со степенной башней — то есть справа налево. Например, запись 3↑↑↑2 есть сокращенная запись 3↑↑3. Это число мы с грехом пополам еще можем себе представить — 7 625 597 484 987. Но, например,

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑7625597484987.