Понятно, что чем больше начальная скорость снаряда относительно ракеты, тем больший импульс он передаст при столкновении (2mΔV); но мы не можем увеличить допустимую скорость столкновения. Так что при любой текущей скорости ракеты V1, снаряды должны догонять её со скоростью (V1 + 2 км/с), а после упругого столкновения их скорость станет (V1 — 2 км/с).

Желательно, чтобы отражение было полностью упругим, то есть потери энергии при столкновении должны быть минимальными. Это не из-за того, что нам жалко энергии; в данном случае, потеря даже 50 % энергии при неупругом столкновении приведёт к уменьшению передаваемого импульса всего лишь на 15 %. Проблема в том, что эта энергия, по крайней мере частично, пойдёт на нагрев элементов конструкции двигателя. (часть энергии снарядов можно отнимать для бортовых нужд или нагрева рабочего тела, главное чтобы не было неконтролируемого рассеивания тепла).

Если относительная скорость при столкновении всегда равна 2 км/с, то переданный импульс составит p= 2mΔV = 4000m; (то есть удельный импульс по отношению к массе снарядов будет 4 км/с).

начальная кинетическая энергия снаряда E0 = m(V1 + 2000)2/2;

переданная ракете кинетическая энергия ΔE = pV1 = 2mΔVV1 = 4000mV1;

Отношение ΔE/E0 — коэффициент полезного использования кинетической энергии снаряда, то есть её превращения в кинетическую энергию ракеты, важнейший энергетический показатель эффективности системы:

ΔE/E0 = (4000mV1)/(m(V1 + 2000)2/2) = 8000*V1/(V1 + 2000)2.

Видно, что это отношение равно 0 при (V1=0), т. е. при неподвижной ракете КПД передачи энергии = 0;

При V1 = 2000 значение выражения достигает максимума,

(8000*2000)/(2000 + 2000)2 = 1; то есть, если снаряд после столкновения остановится, то 100 % его кинетической энергии перейдёт ракете.

При дальнейшем росте скорости, КПД опять начинает снижаться, но не очень быстро:

При V1 = 8000 (первая космическая скорость),

(8000*8000)/(8000 + 2000)2 = 0,64;

При V1 = 18000 (предельная достижимая скорость ракеты при максимальной скорости снаряда 20 км/с):

(8000*18000)/(18000 + 2000)2 = 0,36;

В целом, для разгона ракеты от 0 до 18 км/с потребуется всего 4,5 M0 снарядов, и при этом средний КПД использования энергии будет более 40 %, что в общем очень неплохо, (по сравнению с ракетами на химическом топливе, которые до такой скорости не дотянут даже 1 % начальной массы).

Если стоимость 1 кг снарядов составит 1000 долларов, то цена такого межпланетного запуска будет на уровне 5-10 тысяч долларов за кг груза, что в десятки раз ниже стоимости планируемых сейчас проектов.

3. Газовый упруго-кинетический двигатель (тип 1)

Для освоения Марса, Венеры и ближайших астероидов начальной скорости 15–16 км/с вполне достаточно. Но для Меркурия и внешних планет надо бы побольше.

Мячиковый двигатель может работать при любой скорости снарядов, пока они смогут догонять ракету, но при больших скоростях отношение передаваемого импульса и кинетической энергии к начальному импульсу и энергии снаряда будет уменьшаться. В принципе, даже при начальной скорости снаряда 40–50 км/с, и разности скоростей снаряда и ракеты 2 км/с, такая система ещё будет работоспособна.

Если скорость снаряда 40 км/с, а ракеты 38 км/с, то КПД передачи энергии всё ещё будет около 20 %, и это вполне можно использовать, при этом для разгона ракеты от 0 до 38 км/с понадобится всего 10 кг снарядов на килограмм груза. Если сравнивать с ракетами на химическом топливе, то разница в 2000 раз. Но всё же хочется иметь КПД ещё больше. Очевидно, что для этого нам нужны мячики, способные отскакивать от преграды с большей скоростью, хотя бы 10 км/с или около того.

Посмотрим, что мешает мячику отскочить от стенки с такой скоростью.

Мячик состоит из двух частей — прочной эластичной оболочки, и газа, находящегося внутри. Если прочность материала оболочки 10 ГПа, а внутри находится водород при 300К, то массы газа и оболочки должны быть примерно равными; тогда такой амортизатор может обратимо накопить механическую энергию около 0,5 МДж/кг, и упруго отскочить от жёсткой стальной плиты при относительной скорости до 1 км/с.

Если оптимизировать форму мячика и толщину оболочки с учётом деформации, то можно сэкономить до 10 % общей массы.

Более существенно можно оптимизировать газовую компоненту: если подогреть газ (желательно непосредственно перед ударом, чтобы не успела нагреться оболочка), то его массу можно уменьшить в 5-10 раз, а общую массу системы на 40 %. Таким образом можно увеличить удельную энергию столкновения в 2 раза, до 1 МДж/кг, а скорость до 1,5 км/с. Если вместо жёсткой плиты взять упругую оболочку или сетку, то скорость столкновения можно повысить до 2–2,5 км/с, и это уже предел для такой системы.

Посмотрим, что мешает мячику накопить больше энергии. Собственно, здесь всего 2 компоненты: газ и оболочка.

Газ мы можем оптимизировать до бесконечности, нагревая его всё сильнее и сильнее; но это почти ничего не даст, так как уже при 1500К его масса составляет только 20 % от общей массы системы.

Оболочка, при прочности 10ГПа, весит 80 % от общей массы мячика. Очевидно, её-то и надо оптимизировать, вот где резерв производительности. Будь мы японцами, мы, наверно, смогли бы получить материал с прочностью 20 ГПа; потом 40 ГПа; потом 100ГПа (лет через 50). И скорость отскока наших мячиков увеличилась бы до 3 км/с, потом до 4, потом до 4,5…

Но, мы не японцы, и сделаем по другому.

Оболочка нам мешает — уберём её…

А что, собственно, она делает.

Она удерживает газ, да. Но в момент столкновения — она удерживает газ не со всех сторон.

Спереди газ удерживает жёсткая плита, с которой он сталкивается. Сзади — силы инерции. Таким образом, непосредственно в момент столкновения, функция оболочки сводится к тому, чтобы препятствовать разлёту газа в стороны, вдоль поверхности плиты то есть.

Но, почему бы нам не прикрепить к плите прочный цилиндрический (или конический) стакан, который будет делать то же самое. Собственно, это может быть полусферическое углубление с цилиндрическими боковыми стенками, или даже без оных, или стакан параболической формы…

Когда наш "мячик" (а по сути, уже просто ничем не ограниченный объём газа) влетит в это углубление, ему уже деться будет некуда: спереди и с боков стенка, можно только сжаться под действием сил инерции, а потом вылететь назад. Что он и сделает. При этом, в зависимости от формы сопла, 40–70 % кинетической энергии снова пойдёт на совершение работы при расширении, и газ вылетит назад почти с той же скоростью (на 60–80 %).

Получается мячик без оболочки, который, тем не менее, неплохо рикошетит от преграды. И относительная скорость столкновения теперь не ограничена, вообще. То есть, совсем. Газ может накопить бесконечное количество тепловой энергии, и потом превратить её в