ПАРАДОКС ЗЕНОНА «СТАДИОН»

AAA находится в покое, BBB движется от знака поворота, а CCC движется к знаку поворота с той же скоростью. Если мы примем «время проезда расстояния, равного одной длине колесницы», за единицу времени и измерим его по движению B относительно A, то B проедет мимо C за половину этого времени. Это противоречит представлению о том, что исходная выбранная единица времени была неделимой. Этот аргумент можно применить, чтобы показать, что не может быть наименьшего неделимого отрезка времени.

Хотя современному читателю ясно, что Зенон действительно обнаружил важную истину, наш здравый смысл XX века настолько привык к тому, что скорость относительна, что эта четвертая задача для нас менее интересна, чем остальные три. Однако, если мы посмотрим на эти парадоксы как на критические выпады против «научных» идей о движении, которые излагали прифагорейцы, мы обнаружим, что в этом последнем из четырех парадоксов Зенон спрятал еще одну задачу.

В то время, когда жили Зенон и Парменид, пифагорейцы были в западном мире экспертами по естественным наукам и математике. Выполняют ли четыре парадокса Зенона свою функцию критики распространенных тогда более точных определений пространства, времени и движения?

Пифагорейцы, похоже, пришли к соглашению, что физический мир, включая пространство и время, складывается из отдельных «точек» и «моментов». Поэтому они определили бы движение примерно так, как мы определяем скорость, – как перемещение через определенное количество точек пространства за определенное количество моментов времени. В физике и геометрии пифагорейцы также единогласно признавали положение, что любой непрерывный объект, имеющий длину, – например, линия или ее часть – может быть разделен на две части. Но помимо этого согласованного общего мнения не было ни одного принятого всей их школой взгляда на то, каков размер моментов и точек: они могли не иметь вообще никакого размера или могли иметь соответственно конечную длину и конечную длительность. Не было согласованного единого мнения и на то, следует ли рассматривать линию, определяемую точками, как ряд точек, расположенных одна вплотную к другой, или считать, что точки на линии отмечают границы интервалов, а промежутки между точками заняты какой-то разновидностью пустоты или пространства3.

Отсутствие согласия по поводу конкретных деталей означало, что Зенон должен был рассмотреть четыре возможных случая, чтобы показать, что ни одно точное описание не может быть свободно от противоречий. Похоже, он чувствовал, что Парменид уже доказал нелепость попыток заполнить промежутки между точками каким-то видом пустоты4. Такая пустота была бы формой небытия, а поскольку ничто не может что-то делать и не может иметь какие-то свойства, было бы нелогичным считать, что оно разделяет точки или связывает их. Поэтому не вызывают возражений с точки зрения логики только те варианты, в которых сегменты пространства (и времени) вплотную прилегают один к другому.

Четыре возможных у пифагорейцев способа описать движение объединяются в две группы: либо (1) сегменты пространства и части времени не похожи друг на друга, либо (2) они похожи. Если (1) они не похожи, то либо (1a) каждый момент времени имеет определенную протяженность, а сегменты пространства ее не имеют, либо (1b) дело обстоит наоборот: точки имеют конечную длину, а моменты времени не имеют длительности. Если (2) время и пространство подобны одно другому, то либо (2a) элементы и того и другого не имеют никакой протяженности, либо (2b) элементы и того и другого имеют какую-то минимальную конечную длину [то есть либо T = 1, S = 1, либо T = 0, S = 0]5.

Именно эти четыре возможности и рассмотрены по порядку в четырех парадоксах движения. Зримо представить это в компактной форме вам может помочь таблица:

Для начала вернемся к задаче «Деление на два» и обратим внимание на то, что в этой головоломке предполагается, что пространство между вами и ведущей наружу дверью можно делить бесконечно. И для Зенона, и для Пифагора это означало, что пространственные точки не имеют длины. В то же время, когда Зенон сказал: «Чтобы пройти через каждую точку пространства, нужно какое-то время», он предполагал, что у моментов времени есть какая-то «длина» и поэтому, если сложить бесконечное количество моментов, в сумме получится бесконечное время. Это противоречие происходит оттого, что к пространству применяется пифагорейский постулат о том, что любое непрерывное количество можно разделить на две части, а к времени применяется другая пифагорейская теорема, что непрерывное количество представляет собой последовательность бесконечного числа отдельных точек. (С точки зрения арифметики раз пространственные точки не имеют длины и поэтому их длина равна нулю, то при их сложении не может получиться длина больше нуля. Но поскольку моменты времени имеют длительность, сумма любого количества этих моментов будет больше, чем нуль. Если теперь описать движение как отношение расстояния к времени s/t, получится 0/t, то есть неподвижность.)

В парадоксе об Ахилле делается противоположное допущение. Когда Зенон заявляет, что Ахилл никогда не сможет обогнать черепаху, он явно говорит о времени, которое можно делить на две части до бесконечности и которое, следовательно, состоит из не имеющих протяженности моментов; но он предполагает, что в каждый момент времени оказывается пройден какой-то конечный отрезок пути. В этом случае оказывается, что скорость любого движения равна бесконечности, потому что отношение расстояния к времени (s/t) равно s/0. Аристотель считал парадокс об Ахилле «детским», потому что «очевидно, что пространство делится на части таким же образом, как время». Но Аристотель не понял, что Зенон использовал парадокс об Ахилле для того, чтобы опровергнуть одно из логически возможных пифагорейских толкований. (Фактически эти два первых рассмотренных Зеноном случая никогда не принимались всерьез как научные гипотезы вплоть до XX века; но пифагореец мог бы рассматривать их, и потому Зенон включил их в свою атаку по всему фронту6.)

В парадоксе о стреле допущения достаточно простые и очевидные: если ни моменты времени, ни сегменты пространства не имеют совершенно никакой протяженности, отношение расстояние к времени всегда будет 0/0, а это выражение не имеет смысла. Причина того, что задача о стреле создает такие фундаментальные трудности, состоит в том, что мы часто хотим разрезать пространство и время на отдельные фрагменты, как на куски. Целая длинная и интересная глава в истории математики заполнена попытками, используя различные стратегии, опять сложить из этих фрагментов непрерывное целое.

И наконец, в четвертой задаче с движением колесниц относительно друг друга предполагается, что точки пространства и моменты времени имеют определенную протяженность, но она минимальна, и поэтому они имеют длину, но неделимы. (Если бы они были делимыми, то многократным делением на два их можно было бы разделить до частей, каждая из которых была бы ничем, и перед нами опять был бы случай со стрелой.) Но допущение о неделимости сразу же оказывается неверным: мы видим, что факт относительности движения приводит к необходимости делить моменты или точки на более мелкие части, если мы не согласны с выводом самого Зенона: «Итак, два промежутка времени равны одному промежутку». То, что Зенон назвал движущиеся по стадиону предметы словом «онкос», означавшим что-то объемное, характерно для этого философа: обычные слушатели сразу понимали, что здесь имеются в виду повозки или колесницы, и представляли их себе; но слово «онкос» еще означало «физическое тело» у пифагорейцев, и более ученый слушатель мог представить себе просторный стадион и на нем крошечные пифагорейские точки – движущиеся онкой-тела7.