Давайте посчитаем по-быстрому, сколько будет 1 + 3 + 5 + 7 +… + 99? (Сумма всех нечетных чисел от единицы до 99.) Это:

Варианты ответов

1. 1234.

2. 2500.

3. 3600.

Правильный ответ: 2

Вообще говоря, перед нами сумма членов арифметической прогрессии, для подсчета которой существует известная формула, и при желании мы можем ею воспользоваться. Но это путь долгий и неизящный – а мы хотим посчитать быстро, красиво и в уме. Тогда вспомним, что еще с античных времен известно: любая сумма нечетных чисел от единицы до n суть полный квадрат. Судите сами: 1 + 3 = 4 = 2²; 1 + 3 + 5 = 9 = 3²; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². То, что так будет для всех нечетных чисел, ясно уже из геометрических соображений: возьмем побольше единичных (со стороной длиной 1, неважно чего – метров, футов или лье) квадратов и начнем последовательно собирать из них квадраты большего размера – со стороной 2, 3 и т. д. (см. рисунок). Квадрат со стороной 2 получается прибавлением к первоначальному квадрату еще трех, со стороной 3 – прибавлением к предыдущему еще пяти, ну и т. д. Площадь большого квадрата (со стороной длины n) можно записать как n², а можно – как сумму площадей всех составляющих его фигур (площадь первого единичного квадрата + площади всех «надстроек» над ним, превращающих его в квадрат во стороной n): 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1). В итоге имеем равенство 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n². В нашем случае n = 50 (так как 2n – 1 = 99), значит, сумма равна 50 × 50 = 2500.

Вы подбрасываете наудачу две монеты. Какова вероятность одновременного выпадения орла или решки?

Варианты ответов

1. 12,5 %.

2. 25 %.

3. 50 %.

Правильный ответ: 3

Давайте разберем все возможные исходы подбрасывания двух монет. Каждая может выпасть либо орлом (О), либо решкой (Р), соответственно, для двух монет возможны следующие результаты: ОО, ОР, РО, РР. Эти четыре события считаем равновероятными (не спрашивайте почему – это аксиома, разумное предположение, на котором построена вся теория вероятностей), т. е. вероятность одного события равна 25 % (суммарная вероятность всех событий 4 × 25 % = 100 %, а это значит, что какое-то из четырех событий обязательно да наступит). Выпадение орла на обеих монетах, равно как и решки, наступает с вероятностью 25 % каждое. Значит, какое-то одно из этих событий наступит с вероятностью 25 + 25 = 50 %. Возможно, поэтому возникает иллюзия, что угадать орлов или решек на двух монетах так же легко, как и на одной, но это только иллюзия: вы же будете угадывать не «орел или решка на обеих монетах», а что-то одно – либо дважды орел, либо дважды решка, и вероятность каждого из этих двух событий только 25 %.

Арбуз стоит 3 руб. и пол-арбуза, сколько стоит арбуз?

Варианты ответов

1. 4,5 руб.

2. 6 руб.

3. 9 руб.

Правильный ответ: 2

Это любимая задача великого русского математика В. И. Арнольда[6]. Поразительно, что большинство людей с ходу решают ее неверно, отвечая «четыре с половиной рубля», а после совершенно не в силах объяснить свое решение. Которое, конечно же, элементарно. АРБУЗ = 3 + 1/2 АРБУЗ (АРБУЗ – цена арбуза). Упрощая, получаем 1/2 АРБУЗ = 3, отсюда сразу же АРБУЗ = 6, шесть рублей и ни копейкой меньше.

[7]

Представьте, что вы попали на карточную фабрику – такую, где производят игральные карты. В пересменок никого нет, и можно немного пошалить. Вы начинаете выкладывать друг на друга карты (которых в вашем распоряжении бесчисленное множество), причем таким образом, что каждая следующая карта максимально нависает над предыдущей, еще чуть-чуть, и сорвется. Какой может быть максимальная длина (не высота! Речь именно о горизонтальных размерах) такой башни?

Варианты ответов

1. Длина двух карт.

2. Длина π (π = 3,1428…) карт.

3. Ничем не ограничена!

Правильный ответ: 3

Вся штука вот в чем: чтобы башня не падала, необходимо, чтобы ее центр масс всегда был в устойчивом положении. Когда кладем вторую карту (на первую), она устойчива, если высовывается наружу не далее чем на половину длины. Далее показывается, что третья карта должна высовываться не больше чем на треть, четвертая – на четверть и т. д. Складывая все эти длины, получим горизонтальный размер башни: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… – а это есть не что иное, как знаменитый гармонический ряд, и сумма этого ряда есть бесконечность! Правда, бесконечность довольно вялая – сумма гармонического ряда растет логарифмически, а ничего медленнее логарифма в природе не существует. Это такая функция-черепаха: возьмите логарифм по основанию 2 от числа 16, log216 = 4, а от умопомрачительного 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 («миллион триллион триллионов») такой логарифм равен… всего лишь 100! Но тем не менее логарифм неограниченно растет.

Почему цены на все жидкости (воду, сок, бензин и т. д.) указывают в пересчете на объем (рублей за литр) и только на мед в пересчете на вес («за килограмм»)?