Если же принять, что радиус электрона еще меньше, то скорость точки на его экваторе будет еще больше. Иными словами, если сравнить спин электрона с вращением тела вокруг своей оси, то результат будет противоречить теории относительности – никакое тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Таким образом, результаты квантовой механики не всегда можно истолковать, основываясь на классических аналогиях.

Гейзенберг обнаружил, что волновая функция должна быть антисимметричной (иными словами, она должна менять знак) при замене двух идентичных электронов, так как только в этом случае будет выполняться принцип Паули.

Допустим, что электроны могут находиться в двух квантовых состояниях, которые мы обозначим буквами a и b. Волновую функцию можно будет записать как a(1)b(2), иными словами, электрон 1 будет находиться в состоянии a, электрон 2 – в состоянии b. Но так как электроны 1 и 2 идентичны, различие между ними произвольно: мы могли записать волновую функцию в виде а(2) b(1). Наиболее общим представлением волновой функции будет линейная комбинация обоих вариантов, то есть два выражения:

a(1)b(2) + a(2)b(1)

и

a(1)b(2)-а(2)b(1),

которые отличаются между собой только знаком. Если мы поменяем местами индексы 1 и 2 или состояния a и b, то в первом случае получим ту же линейную комбинацию, во втором – ту же линейную комбинацию, но с противоположным знаком. Эти комбинации называются симметричной и антисимметричной к смене индексов частиц и состояний соответственно. Какое из этих двух выражений удовлетворяет принципу Паули? Если мы рассмотрим два электрона в одинаковом состоянии, то результат антисимметричной комбинации будет равен нулю. По всей видимости, именно в ней учитывается принцип Паули. Этот простой пример иллюстрирует более общий результат для системы из множества электронов: волновая функция этой системы должна быть антисимметричной, то есть менять знак при смене индексов любых двух электронов.

Вернемся к атому гелия и уточним описанные выше обозначения. Волновая функция каждого электрона представляет собой произведение пространственной части, в которой для обозначения трех квантовых чисел используются буквы n и m, и спиновой части. Для обозначения пространственной части волновой функции используем греческую букву φ(фи) и будем записывать φn(1) и φm(2). В спиновой части два возможных состояния спина обычно обозначаются греческими буквами альфа и бета, поэтому будем записывать α(1) и β(2).

Волновая функция для двух электронов будет записываться так:

φm(1)φn(2)α(1)β(2) – φm(2)φn(1)α(2)β(1).

Это в самом деле антисимметричная комбинация: при смене индексов электронов мы получим тот же результат, но с противоположным знаком. Кроме того, если обозначения состояний равны, итоговый результат равен нулю. Таким образом, принцип Паули выполняется.

Данному принципу удовлетворяет и следующая линейная комбинация:

[φm(1)φn(2) + φm(2)φn(1)] • [α(1)β(2) – α(2)β(1)].

Это произведение симметричной комбинации пространственных частей и антисимметричной комбинации спиновых частей. Аналогично определяется следующая комбинация:

[φm(1)φn(2) – φm(2)φn(1)] • [α(1)β(2) + α(2)β(1)].

Она обладает обратными свойствами симметрии и определяется как произведение антисимметричной комбинации пространственных частей на симметричную комбинацию спиновых частей. Можно убедиться, что суммы этих двух новых линейных комбинаций за исключением общего множителя равны первой волновой функции, записанной нами для двух электронов. Однако новый способ записи содержит больше физической информации. Гейзенберг показал, что эти новые выражения описывают два разных множества состояний атома гелия, а именно линии спектра парагелия и ортогелия. В первом случае спиновая часть антисимметрична и соответствует синглетному состоянию – единственному состоянию общего спина. В примере с ортогелием спиновая часть симметрична, что соответствует триплетному состоянию, то есть трем возможным состояниям с одним и тем же значением общего спина. Следовательно, загадка двух видов гелия объясняется, если мы рассмотрим спин электрона: два вида гелия соответствуют двум возможным сочетаниям этих спинов.

Гейзенберг применил эти же идеи при изучении молекулы водорода, содержащей два протона и два электрона, и предсказал существование двух форм водорода, которые также назвал параводородом и ортоводородом. Они были открыты в 1929 году. Это два состояния молекулы с различным общим спином, которые сосуществуют при определенной температуре окружающей среды. Соотношение параводорода и ортоводорода равно 1:3. Как указано в заявлении Нобелевского комитета, Гейзенберг получил Нобелевскую премию по физике «за создание квантовой механики, применение которой привело, в частности, к открытию аллотропных форм водорода».

Квантовая неопределенность

В мае 1926 года Гейзенберг вернулся в Копенгаген – ему предстояло провести целый год в роли помощника Нильса Бора. К этому времени он уже достаточно хорошо говорил по-датски, чтобы преподавать. Бор был рад его возвращению и в письме к Резерфорду сообщал: «Приехал Гейзенберг, и все мы очень заняты обсуждением нового пути развития квантовой механики и перспектив, которые она открывает перед нами».

Как-то раз немецкий посол в Копенгагене пригласил Гейзенберга в свою резиденцию на музыкальный вечер – один из его сыновей, Карл Фридрих фон Вайцзеккер, интересовался физикой и захотел увидеть талантливого ученого. Гейзенберг постоянно общался с юными скаутами, поэтому легко завязал дружеские отношения с сыном посла, хотя тот был на 10 лет младше и учился в средней школе. Много лет спустя Вайцзеккер защитил докторскую диссертацию под руководством Гейзенберга и стал одним из его немногих близких друзей.

Бор пригласил Шрёдингера обсудить интерпретацию квантовой механики. Как вспоминал Гейзенберг, спор между учеными начался уже на вокзале Копенгагена и продолжался каждый день с утра до позднего вечера. Шрёдингер жил в доме Бора, и укрыться от дискуссий ему было некуда. И даже когда он, заболев, провел несколько дней в постели, Бор сидел у изголовья и продолжал спор. Позже Бор не раз вспоминал, как эта встреча повлияла на развитие его взглядов. После отъезда измученного Шрёдингера интерпретация квантовой механики стала главной темой бесед Бора и Гейзенберга на следующие несколько месяцев. Эти беседы были посвящены корпускулярно-волновому дуализму.