ко всем восьми элементам. Но на самом деле вы обращаетесь к O(n) элементам на каждом уровне стека вызовов!

Даже если массив будет разделен другим способом, вы все равно каждый раз обращаетесь к O(n) элементам.

Итак, завершение каждого уровня требует времени O(n).

В этом примере существуют O(log n) (с технической точки зрения правильнее сказать «высота стека вызовов равна O(log n)») уровней. А так как каждый уровень занимает время O(n), то весь алгоритм займет время O(n) * O(log n) = O(n log n). Это сценарий лучшего случая.

В худшем случае существуют O(n) уровней, поэтому алгоритм займет время O(n)* O(n) = O(n2).

А теперь сюрприз: лучший случай также является средним. Если вы всегда будете выбирать опорным элементом случайный элемент в массиве, быстрая сортировка в среднем завершится за время O(n log n). Это один из самых быстрых существующих алгоритмов сортировки, который заодно является хорошим примером стратегии «разделяй и властвуй».

Упражнения

Запишите «O-большое» для каждой из следующих операций ?

4.5 Вывод значения каждого элемента массива.

4.6 Удвоение значения каждого элемента массива.

4.7 Удвоение значения только первого элемента массива.

4.8 Создание таблицы умножения для всех элементов массива. Например, если массив состоит из элементов [2, 3, 7, 8, 10], сначала каждый элемент умножается на 2, затем каждый элемент умножается на 3, затем на 7 и т.д.

Шпаргалка

• Стратегия «разделяй и властвуй» основана на разбиении задачи на уменьшающиеся фрагменты. Если вы используете стратегию «разделяй и властвуй» со списком, то базовым случаем, скорее всего, является пустой массив или массив из одного элемента.

• Если вы реализуете алгоритм быстрой сортировки, выберите в качестве опорного случайный элемент. Среднее время выполнения быстрой сор­тировки составляет O(n log n)!

• Константы в «O-большом» иногда могут иметь значение. Именно по этой причине быстрая сортировка быстрее сортировки слиянием.

• При сравнении простой сортировки с бинарной константа почти никогда роли не играет, потому что O(log n) слишком сильно превосходит O(n) по скорости при большом размере списка.

5. Хеш-таблицы

В этой главе

• Вы узнаете о хеш-таблицах — одной из самых полезных базовых структур данных. Хеш-таблицы находят множество применений; в этой главе рассматриваются распространенные варианты использования.

• Вы изучите внутреннее устройство хеш-таблиц: реализацию, коллизии и хеш-функции. Это поможет вам понять, как анализируется производительность хеш-таблицы.

Представьте, что вы продавец в маленьком магазинчике. Когда клиент покупает товары, вы проверяете их цену по книге. Если записи в книге не упорядочены по алфавиту, то поиск слова «апельсины» в каждой строке зай­мет слишком много времени. Фактически вам придется проводить простой поиск из главы 1, а для этого нужно проверить каждую запись. Помните, сколько времени это займет? O(n). Если же книга упорядочена по алфавиту, вы сможете воспользоваться бинарным поиском, время которого составляет всего O(log n).

На всякий случай напомню, что время O(n) и O(log n) — далеко не одно и то же! Предположим, вы можете просмотреть 10 записей в книге за секунду. В следующей таблице показано, сколько времени займет простой и бинарный поиск.

Вы уже знаете, что бинарный поиск работает очень быстро. Но поиск данных в книге — головная боль для кассира, даже если ее содержимое отсортировано. Пока вы листаете страницы, клиент потихоньку начинает выходить из себя. Гораздо удобнее было бы завести помощницу, которая помнит все названия товаров и цены. Тогда ничего искать вообще не придется: вы спрашиваете помощницу, а она мгновенно отвечает.

[3]

Ваша помощница Мэгги может за время O(1) сообщить цену любого товара, независимо от размера книги. Она работает еще быстрее, чем бинарный поиск.

Просто чудо, а не девушка! И где взять такую Мэгги?

Обратимся к структурам данных. Пока вам известны две структуры данных: массивы и списки. (О стеках я не говорю, потому что нормальный поиск в стеке невозможен.) Книгу можно реализовать в виде массива.

Каждый элемент массива на самом деле состоит из двух элементов: названия товара и его цены. Если отсортировать массив по имени, вы сможете провести по нему бинарный поиск для определения цены товара. Это означает, что поиск будет выполняться за время O(log n). Но нам нужно, чтобы поиск выполнялся за время O(1) (другими словами, вы хотите создать «Мэгги»). В этом вам помогут хеш-функции.

Хеш-функции

Хеш-функция представляет собой функцию, которая получает строку[4] и возвращает число:

В научной терминологии говорят, что хеш-функция «отображает строки на числа». Можно подумать, что найти закономерности получения чисел для подаваемых на вход строк невозможно. Однако хеш-функция должна соответствовать некоторым требованиям:

• Она должна быть последовательной. Допустим, вы передали ей строку «апельсины» и получили 4. Это значит, что каждый раз в будущем, передавая ей строку «апельсины», вы будете получать 4. Без этого хеш-таблица бесполезна.

• Разным словам должны соответствовать разные числа. Например, хеш-функция, которая возвращает 1 для каждого полученного слова, никуда не годится. В идеале каждое входное слово должно отображаться на свое число.

Итак, хеш-функция связывает строки с числами. Зачем это нужно,