5.4732. Мы не можем наделить знак неверным значением.

5.47321. Принцип Оккама не является, конечно же, произвольным правилом и не относится к числу тех, которые оправданы успешным применением. Он гласит, что единицы знакового языка, которые не являются необходимыми, ничего не значат.

Знаки, служащие одной цели, логически равнозначны, а знаки, которые не служат никакой цели, логически бессмысленны.

5.4733. Фреге говорит, что любое правильно составленное суждение должно иметь смысл. Я же говорю, что любое возможное суждение составлено правильно, и если оно не имеет смысла, то лишь потому, что мы не смогли наделить смыслом его составные части.

(Даже если мы думаем, что на самом деле это сделали.)

Так, фраза «Сократ тождественен» не сообщает ни о чем, потому что мы не придали прилагательному «тождественный» никакого значения. Выступая знаком тождественности, оно символизирует полностью отличным способом – его знаковые отношения совсем другие; почему символы в этих случаях принципиально различны. Два символа имеют общим только знак, и это случайность.

5.474. Число необходимых основных действий зависит только от системы записи.

5.475. От нас требуется лишь создать систему знаков с конкретным числом измерений – то есть с конкретным математическим многообразием.

5.476. Ясно, что речь не о числе элементарных идей, подлежащих обозначению, но о выражении правила.

5.5. Всякая функция истинности есть результат последовательного применения к элементарным суждениям действия

Это действие отрицает все суждения в правой части выражения, и я называю его отрицанием этих суждений.

5.501. Когда членами выражения в скобках становятся суждения – а порядок членов внутри скобок не имеет значения, – тогда я указываю на это обстоятельство знаком формы «(ξ)». Это переменная, значением которой являются члены выражения в скобках; черточка над переменной указывает, что она представляет все значения в скобках.

(То есть если ξ имеет три значения P, Q, R, тогда (ξ) = (P, Q, R).)

Значения переменной должны быть заданы.

Задание есть описание суждений, представлением которых является переменная.

Каким образом возникает описание членов выражения в скобках, не существенно.

Мы различаем три вида описания: 1. Прямое описание: мы просто заменяем переменной константы в значениях. 2. Задание функции fx, значениями которой для x будут суждения, подлежащие описанию. 3. Задание формального правила, которое определяет создание суждений; в этом случае членами выражения в скобках будут все члены последовательности форм.

5.502. Поэтому вместо «(– – И) (ξ, …)» я пишу «N(ξ)».

Это отрицание всех значений пропозициональной переменной ξ.

5.503. Очевидно, что мы легко можем выразить принцип и способ создания суждений при помощи этого действия, и посему должно быть возможно найти для него точное выражение.

5.51. Если ξ имеет всего одно значение, тогда N(ξ) =~p (не p); если оно имеет два значения, то N(ξ) = ~p × ~q (ни p, ни q).

5.511. Как может логика – всеохватная логика, отображающая мир – использовать столь причудливые значки и манипуляции? Лишь потому, что все они связаны друг с другом в бесконечной изящной сети, образуя как бы большое зеркало.

5.512. «~p» истинно, если «p» ложно. Поэтому в суждении «~p», когда оно истинно, «p» будет ложным суждением.

Но как тогда значок «~» соотносится с реальностью? Ведь в «~p» отрицает не «~», а то общее, что присуще всем знакам этой записи, отрицающим p. Можно сказать, что есть общее правило, конструирующее «~p», «~~~p», «~p ∨ ~p», «~p × ~p» и так далее, до бесконечности. И это общее свойство отражает отрицание.

5.513. Мы можем сказать, что общим для всех символов, утверждающим вместе p и q, будет суждение «p × q»; а общим для всех символов, утверждающих p или q, будет суждение «p ∨ q».

И сходным образом мы можем сказать, что два суждения противоположны, если они не имеют ничего общего друг с другом, и что всякое суждение содержит лишь одно отрицание, поскольку для него имеется только одно суждение, находящееся полностью вовне. В записи Рассела тоже ясно, что «q : p ∨ ~p» равнозначно «q», а «p ∨ ~p» не говорит ничего.

5.514. Когда запись принята, в ней начинает действовать правило конструирования всех суждений, которые отрицают p, правило конструирования всех суждений, которые утверждают p, и правило конструирование всех суждений, которые утверждают p или q, и т. д. Эти правила равнозначны символам, и в них отражаются значения последних.

5.515. Следует показать в наших символах, что они могут быть лишь суждениями, которые комбинируются при помощи значка «∨» и ему подобных.

Дело обстоит именно так, поскольку символ в «p» и «q» предполагает «∨», «~» и т. п. Если знак «p» в «p ∨ q» не является сложным знаком, тогда он не может иметь значения, а в этом случае знаки «p ∨ p», «p × p» и т. д., имеющее то же значение, что «p», также лишаются смысла. Но если «p ∨ p» не имеет смысла, то и «p ∨ q» его не имеет.

5.5151. Должен ли знак отрицательного суждения строиться с помощью знака положительного суждения? Разве невозможно выразить отрицательное суждение посредством отрицательного факта? (Допустим, что «a» не находится в определенном отношении к «b»; из этого следует, что aRb не имеет места.)

Но на самом деле даже в этом случае отрицательные суждения создаются непрямым использованием положительных.

Положительное суждение необходимо предполагает существование отрицательного, и наоборот.

5.52. Если значениями ξ являются все значения функции fx для всех значений x, то N(ξ) = ~ (Ǝx) × fx

5.521. Я отделяю понятие «все» от функций истинности.

Фреге и Рассел ввели общность в сочетании с логическим произведением или логической суммой. Это затруднило понимание суждений вида «(Ǝx) × fx» и «(x) × fx», в которых присутствуют оба действия.

5.522. Особенностью знака общности является прежде всего то, что он указывает на логический прототип, а во-вторых, выделяет константы.

5.523. Знак общности выступает аргументом.

5.524. Если объекты заданы, тогда одновременно заданы все объекты. Если заданы элементарные суждения, тогда одновременно заданы все элементарные суждения.

5.525. Некорректно переводить суждение «(Ǝx) × fx» фразой «fx возможна», как поступил Рассел.

Достоверность, возможность и невозможность ситуации выражаются не суждением, но выражением, которое является тавтологией, осмысленным суждением или противоречием.