решит проблему отрицательных чисел: число, умноженное само на себя, всегда дает положительный результат), а потом все их сложим. Это число называется остаточной суммой квадратов.

Линия с наименьшей остаточной суммой квадратов называется линией лучшей подгонки. Для приведенного выше графика она будет выглядеть так:

Эта линия позволяет делать прогнозы, и они тем точнее, чем меньше остатки (меньше сумма их квадратов). Если мы измеряем рост и вес любого нового человека, мы ожидаем, что соответствующая точка окажется вблизи этой линии. Зная чей-то рост, мы можем предсказать его вес. Например, судя по графику, 182-сантиметровый человек вероятнее будет весить 76 кг. (Можно действовать и наоборот: зная вес, можно угадать и рост. Но тогда линию надо проводить немного иначе, измеряя ошибки по горизонтали; не стоит сейчас в это углубляться.)

Стоит отметить, что по одному росту трудно точно предсказать вес. Уточнить его помогут дополнительные параметры: много ли вы занимаетесь спортом, много ли пьете, много ли пирогов съедаете в неделю. Учтя все эти переменные, вы получите более ясную картину влияния роста на вес. Это будет контролирование других переменных, о котором мы говорили в этой главе. Если не учитывать искажающие факторы, то можно переоценить или недооценить корреляцию или найти ее там, где ее на самом деле нет.

Глава 8

Причинно-следственная связь

Выпив кока-колы, вы рветесь в драку? А глотнув ледяной фанты, испытываете неконтролируемое желание долбануть кого-нибудь бутылкой?

Судя по новостным публикациям 2011 года, у некоторых такое бывает. Ох уж эта молодежь! «Газированные напитки делают подростков агрессивными», – объявила The Daily Telegraph. «Газированные напитки делают подростков агрессивнее, выяснили ученые», – вторит ей The Times.

В основе этих утверждений – исследование, вышедшее в журнале Injury Prevention. Было обнаружено, что подростки, пьющие более пяти банок газировки в неделю, с гораздо большей (на 10 %) вероятностью носят с собой оружие и проявляют агрессию по отношению к сверстникам, родственникам и возлюбленным.

Приглядимся к формулировкам. В публикации Injury Prevention утверждается, что потребители кока-колы с большей вероятностью агрессивны. В газетах же пишут, что газированные напитки делают подростков агрессивнее.

Здесь важно это различие. В исследовании обнаружили корреляцию – о ней мы говорили в предыдущих главах: вместе с одной переменной росла и другая. Но мы уже знаем: это не означает, что рост одной вызывает рост другой. Как увеличение объемов углекислого газа в атмосфере не приводит к ожирению населения, а продажа мороженого никак не сказывается на количестве смертей на воде.

Газеты же отмечают причинно-следственную связь. Газировка «делает подростков агрессивными», то есть вызывает вспышки ярости; из этого логически следует, что если запретить продажу таких напитков, то насилие прекратится.

Мы уже видели, что иногда трудно определить, прямая ли корреляция: продажи мороженого действительно – при учете других переменных – коррелируют с числом утопленников, или же оба показателя связаны с третьим фактором – температурой воздуха? Только часто нам интереснее ответ на иной вопрос: служит ли одно причиной другого? И как найти этот ответ?

Большинство описанных нами исследований были наблюдательными – в них рассматривался мир как он есть. Так, в примере с углекислым газом и ожирением ученые проследили за изменениями уровня углекислого газа в атмосфере и количеством смертей от избыточного веса и нашли, что и то и другое выросло.

Беда в том, что это не доказывает – и в принципе не может доказывать, – что население полнеет (или умирает) из-за CO2. Вдруг наоборот: выделяется больше углекислого газа, потому что люди толстеют? Или (что вероятнее) есть некий искажающий фактор: возможно, по мере того как страны богатеют, растет и число диагнозов «ожирение», и объемы выбросов в атмосферу? Мы отмечали это в предыдущей главе.

Определить причину в наблюдательных исследованиях помогают некоторые маркеры. Например, причина обычно предшествует следствию: если вы видите, что уровень углекислого газа возрастает раньше, чем количество случаев ожирения, это явно исключает версию, что ожирение провоцирует выбросы CO2. Второе, на что стоит посмотреть, – отношение «доза-реакция»: верно ли в данном конкретном случае, что чем выше гипотетическая причина, тем больше видимый эффект. И, конечно, неплохо иметь какое-то теоретическое обоснование того, почему одно влечет за собой другое. Между мокрыми тротуарами и дождевыми облаками есть корреляция, и в одном направлении объяснить причинно-следственную связь легко, а в обратном – намного труднее.

В случае с дождем и мокрым асфальтом зависимость абсолютно очевидна – как и в случае, что еще важнее, с курением и раком легких, где причина предшествует следствию, реакция зависит от дозы и есть внятное теоретическое обоснование, а эффект настолько велик, что его нельзя игнорировать. Однако в других ситуациях – без такой явной обусловленности – наблюдательные исследования мало подходят для выявления причинно-следственной связи. Так как же определить, служит ли одно причиной другого?

В идеале нужно провести так называемое рандомизированное контролируемое исследование (РКИ).

Что под ним понимается? Вернемся к знакомому примеру: помогает ли эта книга лучше понимать статистику? На этот раз мы не будем искать людей, которые удосужились прочесть ее, а дадим им книгу намеренно. Возьмем, например, тысячу человек. Сначала они сдадут тест по статистике. Потом мы произвольно разобьем их на две группы. Первой дадим читать эту книгу, второй – книгу-плацебо, которая выглядит точно так же, только статистика в ней изложена неверно. (Если вы нашли в этой книге ошибки, возможно, вам попалось плацебо.)

После того как все прочитали свои экземпляры, мы снова проведем тест и посмотрим, повысился ли средний балл в какой-либо группе (или даже в обеих). Если «Цифры врут» действительно повышают уровень знаний читателей, то можно ожидать, что в первой группе увеличится средний балл.

Контрольная группа позволяет провести рассуждение от обратного, как бы заглянуть в альтернативную вселенную. Если мы просто проведем тест до и после прочтения «Цифр…» и заметим улучшения, то, возможно, книга действительно помогла повысить балл. Но это может значить и то, что все испытуемые одновременно прошли онлайн-курсы по статистике. Или что чтение вообще любой книги улучшает знание математики. Или что участие в эксперименте меняет поведение людей. Поэтому и собирается контрольная группа – чтобы проверить, что будет с теми, кто не прочитает нашу книгу.[15]

Конечно, не всегда получается провести РКИ. Иногда это просто нереализуемо, а иногда и вовсе неэтично: нельзя исследовать воздействие табакокурения на детях, выдавая пяти сотням детей по пачке Embassy No. 1 в день в течение десяти лет и сравнивая результаты с контрольной группой, потому что это неприемлемо. И нельзя затевать войны в случайным образом выбранных странах, чтобы исследовать