Карл Фридрих Гаусс определил кривизну двумерной поверхности как 1/r1r2, где r1 и r2 – главные радиусы кривизны. Сфера обладает гауссовой кривизной 1/r02, где r0 – радиус сферы. У обоих радиусов кривизны одинаковый знак, поскольку если вы, к примеру, сидите на вершине сферы, то все геодезические – идущие как влево и вправо, так и вперед и назад – искривляются вниз. Минус на минус (загибание книзу) дает плюс, поэтому произведение r1r2 положительно, и величина 1/r1r2 также положительна. Следовательно, сферическая поверхность всегда обладает положительной кривизной.

Но остается еще два варианта: нулевая или отрицательная кривизна. Во-первых, в некоторую эпоху Вселенная могла иметь геометрию с нулевой кривизной, то есть быть плоской как бесконечная плоскость (называя такую Вселенную «плоской», мы имеем в виду, что она «неискривленная», а не двумерная, как Флатландия. Это бесконечная трехмерная Вселенная, подчиняющаяся законам евклидовой стереометрии). Такая Вселенная является бесконечно протяженной и содержит бесконечное количество галактик (и не имеет центра, см. главу 14).

В третьем случае мы имеем дело с отрицательной кривизной. В некоторую эпоху Вселенная могла обладать отрицательной кривизной и имела бы при этом седловидную форму. В поперечном направлении седло загибается книзу, чтобы на нем было удобно сидеть, но в продольном направлении загибается кверху, чтобы оно плотнее прилегало к спине и шее лошади. Следовательно, кривизна седла в двух этих направлениях противоположна, а поскольку минус на плюс дает минус, величина 1/r1r2 в данном случае отрицательна. Если нарисовать на седле круг, то длина окружности будет больше 2πr, тогда как в случае со сферой, рассмотренном выше, окружность была бы меньше 2πr. Если бы вы продвинулись по седлу на расстояние r от исходной точки, то, обходя окружность, вы поднимались бы или опускались. Таким образом, окружность в данном случае длиннее 2πr, а на плоскости равна 2πr.

Поверхность с отрицательной кривизной также дает бесконечную Вселенную, в которой содержится бесконечное множество галактик. В случае с отрицательной кривизной перед нами гиперболическая Вселенная, изображенная на рис. 22.6. Это чашевидная поверхность, лежащая в обычном плоском пространстве-времени из специальной теории относительности. На этом рисунке время откладывается по вертикали, будущее расположено сверху. Также мы показываем два пространственных измерения, обозначенных двумя горизонтальными стрелками.

Рис. 22.6. Гиперболическая поверхность с отрицательной кривизной (голубая) в обычном пространстве-времени. Время откладывается по вертикали, будущее расположено сверху. Также здесь показаны два пространственноподобных измерения – это горизонтальные оси. Иллюстрация адаптирована из Lars H. Rohwedder

Если отправиться в путь из центральной точки на дне чаши и измерить ее рулеткой вплоть до окружности верхнего края, то окажется, что длина радиуса, проведенного по этой поверхности, неожиданно мала по сравнению с длиной окружности. Дело в том, что ваша рулетка не только разворачивается в пространстве, но и движется во времени, захватывая поверхность чаши. Измеренное расстояние оказывается короче из-за отрицательного члена – dt2, вычитаемого из расстояния ds2, которое покрывает рулетка. Если провести радиус по внутренней поверхности чаши, то он получится коротким относительно окружности или, наоборот, окружность окажется длинной по сравнению с радиусом – такова характерная черта отрицательной кривизны. (Седло – это модель, хорошо иллюстрирующая увеличенное соотношение длины и радиуса окружности, но на седле есть конкретные направления – продольное и поперечное, которых нет в гиперболической Вселенной. Она одинакова во всех направлениях.) Такая гиперболическая поверхность продолжается до бесконечности, имеет бесконечный объем, и в такой Вселенной содержится бесконечное количество галактик. Фридман исследовал модель такого типа в 1924 году и обнаружил, что она начинается с Большого взрыва, а затем вечно расширяется. Позже Говард Робертсон исследовал плоскую Вселенную (случай с нулевой кривизной) и обнаружил, что такая модель также начинается с Большого взрыва и вечно расширяется.

Подытожим (табл. 22.1). Во Вселенной с положительной кривизной сумма углов треугольника, вычерченного в конкретную эпоху, превышает 180°. Во Вселенной с отрицательной кривизной сумма углов треугольника, вычерченного в конкретную эпоху, будет меньше 180°. Фридмановская Вселенная с положительной кривизной конечна в пространстве и во времени. Она замыкается в пространстве сама на себя, образуя цельную поверхность, а также заканчивается во времени – в финале ее ждет Большое схлопывание. Плоская и отрицательно искривленная фридмановские Вселенные бесконечны в пространстве, содержат бесконечные количества галактик и при этом также бесконечны во времени – они вечно расширяются в будущее.

Таблица 22.1. Свойства фридмановских моделей Большого взрыва

После того как Пензиас и Уилсон открыли в 1965 году реликтовое излучение, ученые принялись выяснять, какая из этих моделей наиболее точно описывает именно нашу Вселенную. Актуальные данные, полученные от спутников «Планк» и WMAP, свидетельствуют в пользу модели с нулевой кривизной с точностью выше 1 %. Но выяснилось, что динамика Вселенной сложнее, чем предполагал Фридман. После того как наблюдения Хаббла подтвердили расширение Вселенной, спрогнозированное в моделях Фридмана, осталось несколько загадок. На самом ли деле до Большого взрыва не было ничего? Что спровоцировало Большой взрыв? Как космический микроволновый фон получился настолько однородным, насколько свидетельствуют наблюдения? Поиск ответом на эти вопросы заставляет нас пересмотреть самую раннюю историю Вселенной.

Автор: Дж. Ричард Готт

В этой главе речь пойдет о самой ранней истории Вселенной – на этапе Большого взрыва и даже раньше. Как я уже рассказывал, в 1948 году Георгий Гамов размышлял, как должна была выглядеть Вселенная в первые секунды существования. Гамов рассудил, что примерно на момент Большого взрыва Вселенная должна была быть сильно сжатой, при этом очень жаркой и наполненной тепловым излучением. По мере расширения Вселенной это излучение остывает.

Эту картину можно объяснить на примере фридмановской модели Вселенной как 3-сферы. В любую эпоху ее окружность конечна, и по мере того как эта Вселенная в 3-сфере расширяется, длина ее окружности увеличивается. Предположим, фотоны облетают этот контур по кругу подобно гоночным машинам, идущим по кольцевому треку. Окружность трека со временем увеличивается, и в то же время машины постоянно гонятся друг за другом по треку. Допустим, 12 фотонов рассредоточены по кольцевому треку с равными промежутками, как 12 чисел на циферблате. Трек расширяется, но машины летят по нему с прежней скоростью – скоростью света. Если на старте они рассредоточены по треку с равными промежутками, когда от любой машины до другой, идущей перед ней, будет 1/12 окружности циферблата, то и при расширении трека они останутся равноудалены друг от друга. Все машины одинаково мощны, поэтому ни одна не будет догонять ту, что идет перед ней, не будет и отставать, сближаясь с машиной, идущей сзади. Если при увеличении окружности трека машины остаются равноудалены друг от друга, то расстояние между ними будет возрастать. Если длина трека удвоится, то удвоятся и расстояния между машинами. Теперь представьте себе электромагнитную волну, обегающую окружность по часовой стрелке. Каждый из 12 фотонов можно разместить на одном из гребней волны. И фотоны, и гребни волны будут двигаться со скоростью света, поэтому при движении волны фотоны так и будут оставаться на гребнях. Следовательно, по мере увеличения окружности трека расстояние между гребнями волны возрастает с таким же коэффициентом. При удвоении размера Вселенной удваивается и длина волны (расстояние между двумя соседними гребнями).