Второе: дециллиард, по мнению Архимеда, было самым большим числом во Вселенной. Оперировать бо́льшими числами невозможно. Однако в математике, как был убежден Архимед, существуют и намного бо́льшие числа. Сам Архимед в одном из сочинений о песчаном числе упоминает громадное число 1080 000 000 000 000 000, то есть число, выраженное единицей с восемьюдесятью квадриллионами нулей, — но даже и это немыслимое и невообразимое число является, с точки зрения математика, малым . Ибо, с математической точки зрения, малым является любое число. Начиная с единицы, до любого числа можно перечислить лишь конечное число чисел, но за достигнутым числом находится бесконечное множество следующих чисел, которые еще предстоит перечислить.

Было бы интересно и занимательно выполнить оценку, подобную той, какую выполнил Архимед; при этом мы не станем прибегать к песчинкам и не станем пользоваться заниженным Аристархом размером Солнечной системы, а будем пользоваться наименьшими и наибольшими длинами, известными современной физике. Если скомбинировать гравитационную постоянную, являющуюся со времен Ньютона и Эйнштейна мерой силы тяжести, скорость света, являющуюся со времен Максвелла и Эйнштейна мерой всех электродинамических процессов, и квант действия, который со времен Планка и Бора является точкой отсчета квантовой теории, то мы получим так называемую планковскую длину (естественную единицу длины), которая равна 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 метра. Обычно это число записывают в краткой форме: 1,6162 × 10–35 метра, ибо первая, отличная от нуля цифра, единица, стоит на тридцать пятом месте после запятой. Теперь мы подсчитаем, сколько «кубиков» с «ребром», равным 10–35 метра, может уместиться во Вселенной, горизонт событий которой удален от нас на расстояние 50 миллиардов световых лет. То есть мы можем принять, что Вселенная представляет собой «куб» с «ребром», равным 100 миллиардам световых лет. Так как 100 миллиардов световых лет чуть меньше расстояния в километрах, выраженного произведением 100 миллиардов на 10 триллионов, то есть 1011 × 1013 × 10³ метров, то его можно принять за 1011 + 13 + 3 = 1027 метров. Объем такого куба равен 1027 × 3, то есть 1081 кубическим метрам. «Кубик Планка» с «ребром», равным 10–35 метра, имеет объем 10–35 × 3, то есть 10–105 кубических метра. Таким образом, во Вселенной умещается не больше 1081 + 105, или 10186 «кубиков Планка», или один унтригинтиллион. За единицей следуют 186 нулей. Это, если угодно, современное «песчаное число».

Можно поиграть в такую же — воображаемую — игру со временем. Существует не только планковская длина, но и планковское время, наименьшая имеющая физический смысл единица измерения времени, равная приблизительно 5 × 10–44 секунды. Насколько мы знаем, Вселенная возникла 13,8 миллиарда лет назад, что в секундах соответствует величине около 5 × 1017 секунд. Таким образом, вся история Вселенной умещается во временной промежуток, равный 1017 + 44, или 1061, планковским мгновениям, или, в словесной форме, десяти дециллионам таких мгновений. Удивительно, но это число составляет лишь одну сотую часть песчаного числа Архимеда.

Как только человек начинает считать большими числами, он немедленно теряет скромность…

Но вернемся, однако, в обыденный мир. Конечно, с нашей повседневной жизнью астрономические величины не имеют ничего общего, но размышления о том, как Архимед и современные ему эпигоны работали с приблизительными оценками, представляют интерес и помимо забавных историй о дециллионах и унтригинтиллионах. Умные головы всегда выделялись тем, что хорошо умели прикидывать порядок величин. Волшебником таких оценок был родившийся в Риме и умерший в 1954 г. в Чикаго физик-теоретик Энрико Ферми. На его примере можно научиться тому, что искусство применения математики заключается не в том, чтобы производить безошибочные расчеты, а скорее в том, чтобы минимизировать неизбежные ошибки, держать их, так сказать, в узде.

«Сколько в Чикаго настройщиков пианино?» — спросил однажды Ферми обескураженного таким вопросом студента. Естественно, студент не имел об этом ни малейшего понятия. Однако Ферми знал, как можно приблизительно оценить их число: в Чикаго проживают четыре миллиона человек. В одном домохозяйстве проживают в среднем четыре человека, а в каждом пятом домохозяйстве есть пианино. То есть в городе насчитывается двести тысяч этих музыкальных инструментов. Если каждое пианино надо настраивать один раз в четыре года, то ежегодно надо настраивать пятьдесят тысяч инструментов. Если настройщик за один день может настроить четыре пианино, то за 250 рабочих дней он настроит 1000 пианино в течение одного года. Значит, в Чикаго приблизительно 50 настройщиков пианино.

Всемирно известный венский физик-теоретик Вальтер Тирринг в совершенстве владеет искусством подобных оценок. Когда он был школьником, ему сказали, что теория Альфреда Вегенера, согласно которой континенты перемещаются по поверхности Земли, как льдины по воде, — это сущий вздор. Мальчик ответил, что представил себе картину землетрясения, во время которого земля смещается на ширину ладони. Если такое землетрясение случается один раз в год, то, значит, земная кора сдвигается в год на 10 сантиметров. За 100 миллионов лет она сдвинется, таким образом, на миллиард сантиметров, или на десять тысяч километров, то есть на расстояние, разделяющее Европу и Америку. Учителя посоветовали юному Тиррингу оставить фантазии и игры с числами. Сегодня теория дрейфа материков стала общепринятой и превратилась в научную догму.

Самое очаровательное в этих расчетах заключается в том, что, хотя они и не точны, они тем не менее позволяют хорошо оценить порядок величин, причем при отсутствии подробной информации — только на основании разумных аргументов. Самое прекрасное — это то, что такие расчеты можно легко и непринужденно делать без всяких технических вспомогательных средств. Сколько весит вода в плавательном бассейне, сколько мусора выбрасывает одна семья в течение года, из скольких клеток состоит человеческое тело — на все эти более или менее осмысленные вопросы можно получить ответ, пользуясь методом оценок, предложенным Ферми.

Или вот еще вопрос: в каком отношении находится численность пенсионеров к численности работающих? Даже не поднимая данные статистических ведомств, можно оценить порядок ужасающе высокой доли пенсионеров в обществе. Здесь опять-таки достаточно метода Ферми. Эта оценка является настолько точной, что она сама по себе говорит о необходимости принятия политических решений в этой деликатной области.

Посчитала ли канцлер Меркель, как подобает дипломированному физику, по методу Ферми, смогут ли не выбрасывающие в атмосферу углекислый газ источники энергии компенсировать отказ от атомных электростанций, — об этом немецкие СМИ, которые обычно знают все, так и не сообщили.

Безошибочные расчеты вообще имеют лишь косвенное отношение к математике. Безошибочно считать может и компьютер. Математическая точность подразумевает умение оценивать как результат, так и возможную ошибку. «Ничто столь наглядно не указывает на непонимание математики, — утверждал Гаусс, — как преувеличенное внимание к точности численных расчётов».